Probabilità

[Sergio67]

Eddd, riprendo il tuo ragionamento

Ora da

E = A oppure E = B

se E = A allora
dato che pr(TT/A) = 1/2
e dato che E = A si può sostituire
pr(TT/E) = 1/2

se E = B allora
dato che pr(TT/B) = 1/2
dato che E = B si può sostituire
pr(TT/E) = 1/2

eliminazione della disgiunzione

Pr(TT/E) = 1/2

se mi consenti lo riformulo in questo modo: sia E appartenente all'insieme {A, B} (corrisponde a dire che E=A oppure E=B)
dato che ... segue la tua dimostrazione...
allora
Pr(TT/E) = 1/2

data questa affermazione, ovvero con questa riformulazione del percorso logico, non posso che convenire con te sul risultato. In questo senso ti devo certamente delle scuse, non mi sono soffermato abbastanza a capire cosa stavi dicendo, anche se, dal mio punto di vista, il tuo formalismo non mi ha molto aiutato.
Ora però tutto questo è un risultato parziale, ovvero
Pr(TT/E) = 1/2
dove E può assumere i valori compresi nell'insieme {A, B}, o meglio può assumere il valore A oppure il valore B, in modo disgiunto.

La domanda però resta abbastanza immutata. Quella che hai calcolato è la probabilità condizionata per un insieme finito di condizioni. E la probabilità "incondizionata"?
Quanto vale Pr(TT)? In che modo Pr(TT/E) ti permette di valutare Pr(TT)?

O il tuo punto è sostenere che l'indovinello non è chiaro perché non è ovvio se chiede la probabilità Pr(TT) o la "Pr(TT/E) dove E appartiene a {A, B}"?

[Eddd]

Eddd, riprendo il tuo ragionamento

Ora da

E = A oppure E = B

se E = A allora
dato che pr(TT/A) = 1/2
e dato che E = A si può sostituire
pr(TT/E) = 1/2

se E = B allora
dato che pr(TT/B) = 1/2
dato che E = B si può sostituire
pr(TT/E) = 1/2

eliminazione della disgiunzione

Pr(TT/E) = 1/2

se mi consenti lo riformulo in questo modo: sia E appartenente all'insieme {A, B} (corrisponde a dire che E=A oppure E=B)
dato che ... segue la tua dimostrazione...
allora
Pr(TT/E) = 1/2

data questa affermazione, ovvero con questa riformulazione del percorso logico, non posso che convenire con te sul risultato. In questo senso ti devo certamente delle scuse, non mi sono soffermato abbastanza a capire cosa stavi dicendo, anche se, dal mio punto di vista, il tuo formalismo non mi ha molto aiutato.
Ora però tutto questo è un risultato parziale, ovvero
Pr(TT/E) = 1/2
dove E può assumere i valori compresi nell'insieme {A, B}, o meglio può assumere il valore A oppure il valore B, in modo disgiunto.

La domanda però resta abbastanza immutata. Quella che hai calcolato è la probabilità condizionata per un insieme finito di condizioni. E la probabilità "incondizionata"?
Quanto vale Pr(TT)? In che modo Pr(TT/E) ti permette di valutare Pr(TT)?

O il tuo punto è sostenere che l'indovinello non è chiaro perché non è ovvio se chiede la probabilità Pr(TT) o la "Pr(TT/E) dove E appartiene a {A, B}"?

Se è vera la assunzione da cui siamo partiti e cioé che l'evento che s'è verificato appartiene all'insieme {A, B} e chi ci dà l'informazione ci dice la verità, perché è possibile pure far questo, ad esempio...

Lancio le monete, scelgo la prima, se è testa affermo "Si è verificato l'evento E tale che E = {TT, TC} o E = {TT, CT}", altrimenti niente.

Insomma se è vero che l'evento E che s'è verificato appartiene all'insieme {A, B}, una volta in possesso di questa informazione qua si arriva correttamente a dire che la probabilità che ci siano due teste è 1/2 (la funzione di probabilità già è assegnata), ed è teoricamente corretto dire questo, non hai bisogno di avere altre informazioni supplementari o porti altre domande, anche se non si può sapere quale delle monete sia testa perché l'informazione è parziale su quel che s'è verificato. Se è vera l'ipotesi allora la conclusione è giusta, lo abbiamo dimostrato logicamente usando la teoria... Basta che sia vera quell'ipotesi là e la conclusione quella è, non si scappa. Nell'altro caso A U B è lo stesso, se sei a conoscenza di quel che s'è verificato, applichi la formula e conosci la probabilità.

Tornando al giochino, penso che quando si cerca di tradurre meglio il significato di "almeno una delle monete è testa" si arriva a riformulazioni del genere "la prima moneta è testa o la seconda moneta è testa" e arrivati a questo punto però spesso, si fraintende, perché non si capisce bene (in italiano e nel linguaggio naturale, perché se usiamo un linguaggio formale la differenza è esprimibile chiaramente ed il paradosso sparisce) come interpretare quella "o" e si crea una specie di sovrapposizione di due interpretazioni diverse che produce questa "spaccatura", ce n'è una in cui si crede che è stato affermato dall'altro giocatore che proprio tutto l'evento che s'è verificato o corrisponde al primo evento (prima moneta è testa) o al secondo evento (seconda moneta è testa), e un'altra in cui si interpreta la cosa come se l'evento corrispondesse all'unione degli altri due in cui la "o" logica è annidata nei casi elementari.

Questa è la mia idea, perciò ci sono persone come leo che dicono di provare poi, tenendo ferma una moneta: per come hanno interpretato loro la cosa, questo gli è stato detto, che l'evento che s'era verificato o era il primo o era il secondo. E ragionano per casi (come d'altronde farebbe chiunque, se sapesse che l'evento che s'è verificato appartiene ad {A, B}) e così s'arriva ad 1/2 correttamente (partendo dall'ipotesi fatta però ).

Occhio e croce questo volevo dire, da un certo punto in poi della discussione (quando affermavo che il nuovo possibile o è questo o è quest'altro, ma è un possibile logico, questo volevo esprimere), ma forse per colpa mia, non riuscivo a farmi capire. Prima di arrivare a questo punto, la cosa era un po' confusa anche per me.

Grosso modo Sergio avevo compreso la tua formulazione teorica e mi trovavo già d'accordo con te fin dall'inizio, ti avevo detto che mi sembrava giusto 1/3, ma qualcosa "dietro" ancora non mi convinceva .

Saluti

[Sergio67]

Se è vero che l'evento E che s'è verificato appartiene all'insieme {A, B}, una volta in possesso di questa informazione qua si arriva correttamente a dire che la probabilità che ci siano due teste è 1/2, ed è teoricamente corretto dire questo, non hai bisogno di avere altre informazioni o porti altre domande, anche se non si può sapere quale delle monete sia testa perché l'informazione è parziale su quel che s'è verificato. Se è vera l'ipotesi allora la conclusione è giusta, lo abbiamo dimostrato logicamente usando la teoria, basta che sia vera quell'ipotesi là.

No, questo è proprio l'errore logico di cui ti dicevo prima. Dimostra che si arriva "correttamente" a dire che la probabilità di due teste è 1/2. Come è definita per te la "probabilità di due teste"?

Se è vero che E appartiene a {A, B}, allora è vero che la probabilità di due teste condizionata al verificarsi di una qualsiasi delle condizioni è 1/2. Ma questa NON è la probabilità che ci siano due teste. Non è la probabilità di due teste perché nessuna delle condizioni A o B è certa, mentre tu ha calcolato il valore di 1/2 nella CERTEZZA SPECIFICA di ciascuna situazione. Potrà anche essere vero che "Se A allora è 1/2, se è B allora è 1/2 e che si deve verificare "A oppure B". Ma è proprio quest'ultima parte "A oppure B" che deve essere tenuta in conto in modo probabilistico e non in modo "ingenuo".
Devi tenere per l'appunto in conto la PROBABILITA' di quella condizione. Per passare alla probabilità di due teste quando è "A" devi tenere in conto la probabilità di A e viceversa quando si è verificato "B" devi tenere in conto la probabilità di "B". Questo è come funziona il calcolo delle probabilità. La conclusione "ingenua" di 1/2 non è "corretta", è "sbagliata".

Altrimenti "ingenuamente", ti posso dimostrare che la probabilità di qualsiasi cosa è 1/2. Prendi uno spazio degli eventi qualsiasi, di qualsiasi evento e dividilo in insiemi con la seguente struttura {evento positivo, un evento negativo}. Fai tanti insiemi fino a che a fianco dell'evento positivo non ci hai messo, uno per volta, tutti gli elementi dell'insieme di partenza.
Per ciascuno di questi sottoinsiemi la probabilità è 1/2 (li ho costrutiti così) e SICURAMENTE l'evento apparterrà a uno di questi insiemi. Ergo, secondo te, la probabilità dell'evento è 1/2.
Con questo ragionamento posso dimostrarti che anche la probabilità di vincere al superenalotto è 1/2.

Il ragionamento "ingenuo" sembra valido nel caso di "due teste", perché ci sono solo due eventi e sembra "naturale" dire "o è 1/2 o è 1/2, quindi è 1/2" Ma questo "quindi" non è un quindi giustificato dalla logica e dalla matematica e te ne accorgi se provi ad applicare lo stesso processo di ragionamento a eventi più complessi.

Sono riuscito a spiegarmi?

[Eddd]

Ma questa NON è la probabilità che ci siano due teste. Non è la probabilità di due teste perché nessuna delle condizioni A o B è certa...

A e B non sono condizioni ma eventi, insiemi. Qua teoricamente abbiamo un insieme di insiemi e una funzione di probabilità assegnata a questi.

Che significa che un evento è certo per te al livello teorico?
A e B non sono condizioni ma eventi... Definisci questo concetto certezza, io prima avevo detto che certezza di un evento P si potrebbe tradurre con Pr(P) = 1. Ma nel problema, se si usa la teoria, l'unico evento certo è tutto S = {TT, TC, CT, CC}.
Nel tuo caso che A U B sia certo che significa?
Che una condizione (un insieme di elementi con assegnato un valore di probabilità) sia certa che significa?

Andiamo al sodo, fammi capire. Se mi dici cosa significa posso aggiungere questa ipotesi qua pure io alle assunzioni fatte.

Secondo l'altra interpretazione si potrebbe dire intuitivamente (come avevo detto già prima), che

o è certo {TT, TC} oppure è certo {TT, CT} ossia

"o è certo che la prima moneta è testa o è certo che la seconda moneta è testa"

E quindi ci troviamo di nuovo. Non so quale delle due condizioni è certa ma uno delle due lo è, perciò ragiono per casi.

Comunque mi hai chiesto di usare la teoria e l'ho fatto, ora Sergio rivolgiti pure tu alla teoria per esprimere questo concetto qua, se io non uso la teoria sbaglio, se non la usi tu mettendo in mezzo concetti extrateorici è giusto?

Renditi conto che 'sta discussione impostata adesso come la vuoi impostare tu sfocerà inevitabilmente in una discussione filosofica, perché ora 'sti concetti qua non sono matematici, e bisognerebbe matematizzarli.

Saluti

[Sergio67]

Provo a esprimerlo in una notazione funzionale:

Pr(TT) = Pr(TT/E)*Pr(E) = 1/2 * Pr(E)

la probabilità di TT è uguale alla probabilità di TT condizionata all'evento E (che nel nostro insieme vale sempre 1/2) per la probabilità di E.

Ora Pr(E) NON è uguale a 1 (Mi sa che è proprio questo il punto del dibattere). "E" non è un "evento certo", ma una variabile che assume valori all'interno dell'insieme {A, B}

Quindi:
quando E=A allora Pr(TT) = 1/2 * Pr(A)
quando E=B allora Pr(TT) = 1/2 * Pr(B)

Dove Pr(A) e Pr(B) devono essere valutate rispetto alla totalità delle possibilità.
Pr(A) corrisponde alla domanda: "qual'è la probabilità che il mio evento reale appartenga ad A?"
Pr(B) corrisponde alla domanda: "qual'è la probabilità che il mio evento reale appartenga ad B?"

l'evento reale appartiene ad A in 2 casi su 3, e lo stesso si può dire per B, ovvero Pr(A) = Pr(B) = 2/3

da cui

Pr(TT) = 1/2 * 2/3 = 1/3.

Per rispondere alla tua domanda potremmo definire un evento certo quando lo spazio degli eventi è composto solo da "un solo evento favorevole", dove per "evento" in questo caso possiamo considerare un insieme. Un evento che può essere "certamente A oppure certamente B" non è un "evento certo" dal momento che NON SO se è A o B.

Se chiamo "Evento" il lancio una sola moneta questa è "certamente testa o certamente croce". Ti sembra un "evento certo"?

[Sergio67]

Provando a cercare ancora un altro modo per esprimerlo,

Pr(E) non è la probabilità che "E" appartenga all'insieme {A,B} (che è una ovvietà derivata dalla costruzione della rappresentazione, una definizione), ma la probabilità che si verifichi singolarmente uno degli "eventi" (chiamali come vuoi tu) che appartengono all'insieme {A,B}, ovvero la probabilità che sia vero che "E=A" (fatto che singolarmente non può essere garantito con certezza), oppure la probabilità che sia vero "E=B" (anche questo fatto che singolarmente non può essere garantito con certezza).

L'affermazione "o è certamente vero che E = A o è certamente vero che E = B" esprime il fatto che E appartiene a {A,B} ma non ti dice se E = A o se E = B. Questa aleatorietà residua deve essere tenuta in considerazione nel calcolo complessivo delle probabilità.

[Eddd]

Ora Pr(E) NON è uguale a 1 (Mi sa che è proprio questo il punto del dibattere). "E" non è un "evento certo", ma una variabile che assume valori all'interno dell'insieme {A, B}

Ma nemmeno Pr({TT, TC, CT}) è uguale a 1, nemmeno questo è certo allora! C'entra di sfuggita l'appartenenza logica ad un insieme, la certezza secondo me è relativa all'insieme di possibilità aperte.

Tu c'hai l'idea che bisogna sempre determinarlo questo insieme, io invece penso che non sia necessario, basta conoscere anche certe informazioni incomplete sul possibile aperto.

Per rispondere alla tua domanda potremmo definire un evento certo quando lo spazio degli eventi è composto solo da "un solo evento favorevole", dove per "evento" in questo caso possiamo considerare un insieme. Un evento che può essere "certamente A oppure certamente B" non è un "evento certo" dal momento che NON SO se è A o B.

"NON SO" non è un concetto matematico, ti avevo chiesto una definizione matematica. Perciò questa posizione tua qua, risulta esterna alla teoria. Per me se sai anche solamente che è vero "che è certo A o è certo B", dalla verità di questa assunzione può dipendere il valore della probabilità di altri eventi, e per me è corretto ragionare così, sai che è vero qualcosa sul possibile e puoi sfruttare l'informazione anche se non puoi determinarlo.

Spero che tu però abbia capito che non sono una persona che si confonde. Abbiamo un modo diverso di intendere le cose, credo che sia pressappoco incompatibile, tu direi che hai una posizione "intuizionista" nei confronti della faccenda. Ad esempio, informalmente...

Lancio le monete, nascondo il risultato, scelgo mentalmente la prima, se è testa affermo "Il possibile è ridotto ai casi {TT, TC} oppure il possibile è ridotto a {TT, CT}", altrimenti niente.

Io che non vedo come ha fatto l'altro "a ridurre il possibile" in uno dei due modi, comunque ricevo un'informazione vera perché uno dei due casi nella situazione specifica (in questo tipo di riduzione qua) mi è stato detto che è vero senza imbrogliarmi (se ci fossimo trovati in altre situazioni logiche in cui era vero quello che mi veniva detto, avrei potuto ragionare per casi senza poter sapere quale fosse quello giusto, perciò non sono d'accordo con te), chi fa questo gioco non mi sta imbrogliando, anche se non sono capace di risalire a quale caso sia vero effettivamente, perché mi è stata data un'informazione parziale, posso calcolare correttamente che la probabilità di TT è 1/2.
Che una proposizione qualsiasi sia certa, rappresenta un concetto extrateorico, per me si può esprimere il fatto che conosciamo solo certe parti del possibile senza poterlo determinare univocamente al livello conoscitivo, ma anche in situazioni di incertezza ed indeterminabilità univoca si può dire qualcosa.

Io terrei separate la conoscenza del possibile ed i valori probabilistici relativi al possibile stesso, per me non sono cose equivalenti 'ste due cose. C'è unincertezza logica e conoscitiva che verte sul possibile, e un'incertezza probabilistica interna alla teoria. Le due non sono equivalenti per me.

Comunque come vedi qua si sfocia in ambito filosofico.

[Sergio67]

Eddd

"Ma nemmeno Pr({TT, TC, CT}) è uguale a 1". Nel mondo reale certamente no, ma qui stiamo ragionando sulle ipotesi di un indovinello. L'ho già spiegato a leo, una realtà ipotetica in cui questa affermazione è vera.

A questo punto tieniti le tue convizioni. Io ho fatto molti sforzi per comprendere il tuo ragionamento, e mi sembra di averlo dimostrato.

Dal mio punto di vista ti ho dimostrato sia matematicamente che attraverso giustificazioni di ragionevolezza, ovvero sia utilizzando un linguaggio matematico che non matematico, che la probabilità è 1/3.

"la certezza secondo me è relativa all'insieme di possibilità aperte", ecco, allora tieniti questa tua certezza, non si può convincere nessuno che è già "certo".

Se non hai compreso, la cosa non costituisce un problema per me. Mi auguro solo di aver sostenuto le ragioni della logica con sufficiente chiarezza che chiunque si voglia prendere la briga di leggere questo post con l'attegiamento di voler comprendere non cada in errore.

A te posso solo augurare con reale sincerità di riuscire un giorno a vedere ciò che oggi non riesci a vedere, nonché consigliarti per il momento di stare alla larga dalle scommesse.

Con affetto sincero

[Eddd]

Eddd

"Ma nemmeno Pr({TT, TC, CT}) è uguale a 1". Nel mondo reale certamente no, ma qui stiamo ragionando sulle ipotesi di un indovinello. L'ho già spiegato a leo, una realtà ipotetica in cui questa affermazione è vera.

A questo punto tieniti le tue convizioni. Io ho fatto molti sforzi per comprendere il tuo ragionamento, e mi sembra di averlo dimostrato.

Dal mio punto di vista ti ho dimostrato sia matematicamente che attraverso giustificazioni di ragionevolezza, ovvero sia utilizzando un linguaggio matematico che non matematico, che la probabilità è 1/3.

"la certezza secondo me è relativa all'insieme di possibilità aperte", ecco, allora tieniti questa tua certezza, non si può convincere nessuno che è già "certo".

Se non hai compreso, la cosa non costituisce un problema per me. Mi auguro solo di aver sostenuto le ragioni della logica con sufficiente chiarezza che chiunque si voglia prendere la briga di leggere questo post con l'attegiamento di voler comprendere non cada in errore.

A te posso solo augurare con reale sincerità di riuscire un giorno a vedere ciò che oggi non riesci a vedere, nonché consigliarti per il momento di stare alla larga dalle scommesse.

Con affetto sincero

Io te l'avevo detto però che la matematica non c'entrava, questo era il punto, rispetto alle scommesse se sono vere certe premesse che ho usato posso calcolare bene le possibilità. Io poi non ho capito

Lancio le monete, nascondo il risultato, scelgo mentalmente la prima, se è testa affermo "Il possibile è ridotto ai casi {TT, TC} oppure il possibile è ridotto a {TT, CT}", altrimenti niente.

qua tu non ti trovi che la probabilità di TT è 1/2?
Se il possibile davvero viene ridotto eliminando gli altri casi senza fare altro, come mi vien detto, ma non mi viene detto quale dei sistemi di riduzione sia quello giusto, come faccio a sbagliare? O in un caso o nell'altro viene ridotto a due casi equiprobabili, uno su due.

Se non hai compreso, la cosa non costituisce un problema per me. Mi auguro solo di aver sostenuto le ragioni della logica con sufficiente chiarezza che chiunque si voglia prendere la briga di leggere questo post con l'attegiamento di voler comprendere non cada in errore.

A te posso solo augurare con reale sincerità di riuscire un giorno a vedere ciò che oggi non riesci a vedere, nonché consigliarti per il momento di stare alla larga dalle scommesse.

Ma perché pensi che la logica stia in mano a te? E che le sue ragioni siano le tue?

Anche io ti saluto con affetto, ma non condivido affatto quello che sostieni, io ti ho mostrato che non ci sono motivi logici o matematici per sostenere quello che sostieni. Tu non ne hai trovati e ti sei appellato alla ragionevolezza, ma la ragionevolezza di chi?

La tua? Per me la logica e la matematica sono strumenti dialettici di comprensione e non di coercizione. Non sono strumenti da usare come puntelli per "aver ragione" e dare dell'imbecille a qualcuno.

Saluti

[Sergio67]

Se chiamo "Evento" il lancio una sola moneta questa è "certamente testa o certamente croce", qual'è la certezza? Io ti ho dato una definizione matematica di certezza, ma tu non mi sembra che hai dato la tua.

Con amarezza ti dico che ti ho mostrato come con la tua "logica" sia possibile dimostrare che la probabilità di vincere al superenalotto è 1/2, ma non hai battuto ciglio. Con la tua "logica" posso anche dimostrarti che se lanci due monete e non fai nessuna affermazione la probabilità di due teste è ancora una volta 1/2, ma vista la tua reazione sono portato a pensare che la cosa non ti creerebbe nessuna difficoltà. Con la tua "logica" posso dimostrarti, come ti ho dimostrato ma il fatto deve esserti sfuggito, che QUALUNQUE probabilità è uguale a 1/2. Io personalmente faccio molta difficoltà a chiamare questa "logica".

Poi certo, hai perfettamente ragione, da un punto di vista filosofico la logica matematica è solo una delle possibili logiche, perché in fondo ognuno ha il sacrosanto diritto di inventarsi la sua. Allora diciamo che mi auguro di aver sostenuto in maniera sufficientemente chiara le ragioni della logica matematica.

Ma va bene così, non è veramente un problema. Se questa discussione ti ha aiutato a crearti una logica che si adatta a te, per me va benissimo, mi auguro solo con tutto il cuore che questa logica non ti porti a prendere decisioni sbagliate.

Un grande augurio di felicità

[Eddd]

Io ti ho dato una definizione matematica di certezza, ma tu non mi sembra che hai dato la tua.

La definizione matematica la voglio un po' più formale, quale sarebbe?
Quando dico E appartiene a {A, B} il significato è questo, il riferimento del nome E o è A o è B, ossia come avevo scritto E = A o E = B (che è la condizione logica di appartenenza a questo insieme coppia, perciò st'espressione non rappresenta affatto un formalismo astruso come dicevi {A, B} = {X appartenenti a Parti di S | X = A o X = B}), sei tu che fai confusione un po' tra gli oggetti ed il linguaggio usato per descriverli. Tanto è vero che cercavi errori nella mia dimostrazione. La costante E ha un solo riferimento alla fine, ma l'informazione di quale sia tra i due manca quando dici che è vero che E = {TT, TC} o E = {TT, CT}.
{TT, TC} e {TT, CT} sono gli eventi, il concetto di certezza a cosa si applica? a quali oggetti? A quali enti?
Io cerco di essere chiaro, tu dici che mi hai dato la definizione, e quale sarebbe? Gli eventi nella teoria sono insiemi di una struttura con una funzione di probabilità, la certezza a cosa si applica? Se si applica agli eventi guarda che se tu dici senza chiarire in cosa consiste questo "è certo"

E' certo E = A U B

io posso dire

E' certo E tale che E appartiene ad {A, B}

ossia

E' certo A o è certo B

D'altra parte era proprio quello che sostenevo e volevo esprimere. Ora se c'è un problema o un errore non è situato a livello teorico e matematico, come sostenevi tu, almeno questo dovrai ammetterlo.
Quali sarebbero le condizioni affinché si possa applicare "correttamente" la formula della probabilità condizionata agli eventi? La teoria matematica non ce lo dice affatto e non mi impedisce d'applicarla ad una costante E quando è vero che appartiene all'insieme {A, B}.
Se si vogliono esprimere 'ste condizioni la matematica e la logica bisognerà cercare di usare. "E' certo" s'applica a proposizioni, formule o a eventi? A cosa?

Partendo dalla verità dell'assunzione che ho formulato si arriva correttamente alla conclusione Pr({TT}, E) = 1/2 (ma deve essere vera la premessa che ho usato rispetto ad E), se sono vere quelle informazioni rispetto ad E la conclusione risulta corretta, ma ovviamente è un'assunzione diversa dall'altra E = A U B.

Ora se io sono riuscito a fare 'sta cosa, è la logica stessa a monte che è scorretta . Un sistema di deduzione (in ambito probabilistico) mi dovrebbe impedire proprio di usare informazioni disgiuntive A o B senza che io sappia quale dei disgiunti è vero?

L'errore logico non c'è, tu non l'hai trovato, su questo siamo d'accordo o no?

Ho chiarito la mia assunzione di partenza quale fosse, e da questa arrivo logicamente a quel risultato là. Ora perciò il problema non è situato a questo livello qua ma nell'interpretazione logica del giochino. Tu però questo continui a non volerlo ammettere, e t'appelli ancora alla teoria, la teoria questa è, e permette di effettuare quel tipo di deduzione là, se si parte dalla verità di quella premessa là che ho posto io ovviamente.

Tu dici, "ma è sbagliato!" ma è sbagliato rispetto a cosa? All'interpretazione del gioco? Ma questo rappresenta un problema che non c'entra nulla con la teoria.

L'errore logico ootrebbe essere questo Pr(X | A U B) = Pr(X | A) + P(X | B). Ma io non l'ho usata proprio st'assunzione qua, perché non era questo che volevo esprimere.

Saluti

[Sergio67]

E = A U B è una affermazione, e abbiamo già stabilito che in questo caso la probabilità è 1/3, su questo credo che siamo d'accordo.

L'affermazione "E appartiene ad {A, B}" è un'affermazione completamente diversa, sebbene anche questa vera. In questo caso E NON è un insieme ma una variabile che assume valori nell'insieme {A, B} e come tale la devi trattare. Matematicamente si dice che {A, B} è il dominio di E. Qualsiasi affermazione su "E" è vera solo se è vera singolarmente per ogni elemento del dominio ovvero separatamente sia per A che per B, allo stesso modo una affermazione vera singolarmente sia per A che per B può essere espressa in termini di E. Non puoi esprimere in termini di E una proprietà globale dell'insieme perché tale proprietà è una proprietà di "{A, B}", ma questo non è uno dei valori appartenenti al dominio di E.
L'espressione "Pr(E) = costante", essendo E una variabile sul dominio {A, B} ha senso solo se "Pr(A) = Pr(B) = costante" e viceversa se "Pr(A) = Pr(B) = costante" allora posso scrivere "Pr(E) = costante" dove la costante assume sempre lo stesso valore.

In termini concreti non posso scrivere che "E = {TT,TC}" è una affermazione vera perché non è vera sia per A che per B,
mentre posso scrivere che Pr(TT/E) =1/2 perche questa relazione vale sia per A che per B.
Non posso neanche scrivere che "E = {TT,TC,CT}" è una affermazione vera perché non è vera né per A né per B.

"E appartiene ad {A, B}" è certamente vera, ma "A" è certamente vero? Se "A" non è certamente vero, quanto vale Pr(A)?
Allo stesso modo devi chiederti: "B" è certamente vero? Se "B" non è certamente vero, quanto vale Pr(B)?
Se Pr(A) = Pr(B) allora ha un senso scrivere Pr(E).

Essendo E una variabile sul dominio {A, B} non ha invece senso dire che E è ceramente vera perché "o è vero A o è vero B", in quanto questa è una affermazione sull'insieme {A, B} e non sui suoi elementi. Ma E NON è l'insieme {A, B}, E è una variabile che assume valori in questo dominio.

Stai mescolando i concetti di "variabile a valori sul dominio" e "dominio".
Una volta usi E come variabile con valori sul dominio e una volta la usi come se fosse il dominio stesso. Stai facendo due affermazioni che sono sì, singolarmente vere, ma sono vere su oggetti diversi e quindi non possono essere "riunificate"

Ti è chiaro l'errore di "logica"?

Ripeto, io l'errore di logica l'ho trovato e lo ho perfettamente chiaro. Spero di essere finalmente riuscito a esprimerlo in modo che sia chiaro anche per te.

[Eddd]

L'affermazione "E appartiene ad {A, B}" è un'affermazione completamente diversa, sebbene anche questa vera. In questo caso E NON è un insieme ma una variabile che assume valori nell'insieme {A, B} e come tale la devi trattare.

Nella mia assunzione non è una variabile E, ma una costante, già qua devo correggere un po' la cosa. In pratica quella affermazione è vera o falsa, non è una "formula aperta". E' come nelle equazioni, ci sono dei nomi che fungono da costanti (a, b, c), ma dei quali non si possiede al livello informativo un riferimento esatto nel dominio di enti, ma si assume che lo hanno comunque relativamente a questo fisso, e dei nomi che fungono da variabili vere e proprie (x, y, z).
Tutto il ragionamento che segue in base a 'ste differenze qua tra variabili e costanti si può mettere da parte.

E = A U B è una affermazione, e abbiamo già stabilito che in questo caso la probabilità è 1/3, su questo credo che siamo d'accordo.

L'affermazione "E appartiene ad {A, B}" è un'affermazione completamente diversa, sebbene anche questa vera.

Qua non ho mai detto che quando è vero che E = A U B è vero anche che E appartiene ad {A, B}

Io dico che s'è interpretato il gioco così... è stato detto in entrambi i casi Si è verificato certamente E (verificato nel senso probabilistico), e questa informazione la uso al livello informale nello stesso senso con cui la usi tu, ma in un caso si interpreta la cosa come se fosse stato aggiunto E = A U B nell'altro E = A o E = B (queste verità qua sono logiche).
Nell'altro caso (quello di leo) è stato aggiunto poi insomma che o è vero che E = A o è vero che E = B (vero qua al livello logico). Insomma è stata aggiunta l'informazione che uno dei due s'è verificato certamente proprio come tu diresti che s'è verificato certamente A U B, ma al livello informativo non è stato detto quale dei due s'è verificato certamente ma non è stato comunicato all'altra persona quale dei due.
Ho tradotto 'sta situazione logicamente e matematicamente, usando una costante E (l'evento che m'è stato detto che s'è verificato) e ponendo poi come vero che E = A o E = B. Ponendo le cose in questo modo qua al livello logico è tutto corretto. L'errore non è situato a questo livello qua sicuramente. Io dico "E = A o E = B" rispetto a quel che s'è verificato certamente (cioé E) e traggo le mie conclusioni tramite questa interpretazione qua tu dici E = A U B e trai le tue conclusioni tramite quest'altra interpretazione qua.

Ma scorrettezze io non ne vedo.

Saluti

[Sergio67]

E quindi?

"devo correggere un po' la cosa": appunto, correggiti!

Se "E appartiene ad {A,B}" e può assumere alternativamente il valore A ed il valore B, allora "E" è una variabile per il solo fatto di rispondere alla definizione di variabile. Puoi anche non chiamarla "variabile", chiamala come ti pare, ma rispetta le sue proprietà

Come fa "E" ad essere costante se "in un caso E=A" e "in un altro E=B"?

Certo, DOPO che hai detto "Se E=A" allora E diventa costante, ovvio. Ma prima? In che modo E è costante se è un oggetto che appartiene all'insieme {A,B}?

Se E è una costante, rispondi: quanto vale E?

E chiariamoci sul valore di costante: una costante è un valore univoco.
"X" è costante se "X=2" e non se "X=2 oppure X=3", perche in tal caso, per definizione, "X è una variabile sul dominio {2,3}"

[Sergio67]

forse dovresti approfondire il concetto di "insieme", "costante", "variabile", "funzione a valori su un insieme"....