Probabilità

Quiz e giochi di logica non sono più solo un passatempo, ma un piacevole modo di prepararsi a un buon colloquio di lavoro. Niente più sensi di colpa, dunque, se ci intratteniamo qualche minuto in più con i giochi per la mente perchè non stiamo facendo altro che allenarci alle modalità più diffuse di selezione aziendale.
Test di conoscenza, attitudinali, di intelligenza e personalità sono, infatti, gli strumenti utilizzati dai selezionatori per valutare le capacità dei candidati e le predisposizioni a un compito o a un iter formativo e professionale

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Sergio67
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Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 25 luglio 2011, 9:34

Se ti sono sembrato arrogante, ti chiedo scusa, ma davvero la matematica è un tema che mi infervora :). Resta il fatto che la logica ingenua in genere porta ad essere "buggerati". Meglio saperlo che non saperlo :).

Comunque vorrei dire: finalmente :)!!!

Finalmente una descrizione delle modalità di sviluppo dell'indovinello.

Tu dici: se una delle due era testa, allora l'indovinello equivale a dire che metto giù una moneta testa e lancio l'altra. Certo che se fai così la probabilità è al 50%. Nessun dubbio.

Quindi la domanda è se la situazione descritta dall'indovinello corrisponde di più a quanto dici tu o a quanto dico io.

Il punto fondamentale è che, giustamente, il fatto che la persona guardi le monete e esprima indicazioni sul risultato del lancio, DOPO il lancio, altera la distribuzione di probabilità iniziale. Ma in che modo la altera?

Procediamo per gradi. Lanciamo sempre due monete.

1 - Nessuno guarda le monete. In questo caso credo che sarai d'accordo che la probabilità di uscita di due teste è del 25%.

2 - Una persona guarda UNA sola moneta e dice: "almeno una è testa". Allora la probabilità di uscita di due teste è, credo che anche su questo sarai d'accordo, il 50%. Nota però che la persona ha guardato una moneta sola ed è come se ti stesse dicendo "QUESTA moneta è testa". Dal mio punto di vista questa situazione corrisponde alla modalità di lancio che hai descritto tu.

3 - Una persona guarda ENTRAMBE le monete e dice: "almeno una è testa". Anche questa affermazione altera la probabilità. Io credo che però la alteri in modo diverso dalla situazione precedente, proprio perchè è una situazione DIVERSA dalla precedente. Proprio il fatto di aver guardato entrambe le monete obbliga a considerare le uscite CT e TC come eventi diversi. E il testo dell'indovinello, anche se non lo dice chiaramente, mi fa pensare che siano state guardate entrambe le monete e non una sola.

Se non sei ancora convinto, allora sta a te cercare di convincermi, argomentando in modo logico e matematico, che la situazione 2 e la situazione 3 sono uguali e danno luogo alla stessa "alterazione di probabilità", oppure che l'indovinello sta descrivendo la situazione 2 e non la 3.


Per inciso
SOLUZIONE:
33%
Delle quattro possibilità (TT - TC - CC - CT) l'ultima è esclusa per ripetizione della probabilità.
Dunque 100/3= 33%
non l'ho scritto io, e infatti, sebbene indichi 33% la spiegazione è sbagliata. Non è CT che deve essere esclusa ma CC e per un motivo diverso.
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laura.mi
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Re:

Messaggio da laura.mi » 4 agosto 2011, 12:27

°°Orchidea°Selvaggia°° ha scritto:Bravissimo!


SOLUZIONE:
33%
Delle quattro possibilità (TT - TC - CC - CT) l'ultima è esclusa per ripetizione della probabilità.
Dunque 100/3= 33%
Mi sembra che si debbano escludere le ultime due.
Oppure le prime due, la probabilità è ripetuta fra TC e CT, e queste due valgono una sola volta.
CC si esclude già in partenza.
Tra quattro quelle valide restano due, mi sembra.

Le monete sono sempre le stesse e solo una cambierà il risultato, l'altra mi sembra che resti ininfluente, si può anche non considerarla più.
Adesso la domanda è sull'altra, e l'altra ha 50% di probabilità.

Mi è venuto in mente, quando mi chiedevano di calcolare i risultati in genetica. Ma qui non ci sono cromosomi con genoma dominante o recessivo.
Insomma la testa non domina sulla croce, in questo caso è come se non ci fosse, mi sembra che si debba guardare solo quella che cambia.
Ci saranno solo lanci in cui sono testa tutte e due e lanci con una sola testa. Cos'altro può uscire?
Le possibilità mi sembrano solo queste due
Quindi mi sembra che la risposta sia sempre la metà, al 50%.

Nella prima risposta di Sergio, il testa-croce e il croce-testa mi sembrano esattamente la stessa cosa,
cioè anche qui trovo due probabilità sovrapposte.

Magari sbaglio. Ci penserò ancora un po'.

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Sergio67
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Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 5 agosto 2011, 15:18

Sì, ti sbagli :).

Ribadisco il fatto che parlando di probabilità la "logica ingenua" è spesso fuorviante e porta a risultati sbagliati. Ribadisco anche il fatto che spesso è proprio basandosi su equivoci di questo tipo che si rischia di prendere grosse cantonate.

Nessuno, ripeto nessuno, degli interventi precedenti è riuscito a giustificare il motivo per il quale TC e CT dovrebbero contare una volta sola.

In genere tutti siamo d'accordo nel dire che se lancio due monete la probabilità di ottenere due teste è 1/4. La motivazione è che ho 1/2 per la prima testa, 1/2 per la seconda testa e il prodotto di un 1/2 X 1/2 è 1/4. Strettamente parlando questa NON è però la probabilità di lancio di DUE monete, questa è la probabilità di DUE lanci di UNA moneta. Assumiamo che i due eventi siano assimilabili poiché ci si aspetta che lanciando due monete i lanci siano indipendenti.

La probabilità, definita in modo classico, è data dal numero di eventi favorevoli diviso il numero di eventi totali. Nello specifico TT favorevole, e (TT-CT-TC-CC) eventi totali. Risultato 1/4, come ci si aspettava. Vorrei chiedere a chi sostiene che CT è uguale a TC perchè in questo caso invece sono diversi e contano entrambi? Perchè non dire anche qui che in fondo CT è lo stesso di TC e quindi la probabilità di ottenere due teste lanciando due monete è 1/3?
C'è qualcuno che lo sosterrebbe seriamente e non per il solo gusto di opporsi?
Fissato il fatto che se nessuno guarda le monete TC e CT sono diversi e devono essere contati separatamente, chiedo:
per quale motivo guardare ENTRAMBE le monete dovrebbe rendere TC uguale a CT? Per quale motivo, avendo guardato ENTRAMBE le monete l'affermazione che almeno UNA DELLE DUE è testa dovrebbe rendere TC uguale a CT?

Abbiamo lanciato due monete, una persona ci aiuta dicendo che "Non sono uscite due croci" (affermazione assolutamente equivalente a dire che "è uscita almeno una testa"). Per quale motivo questa affermazione dovrebbe rendere TC uguale a CT, mentre prima, se nessuno ha visto le monete, erano diverse?
L'affermazione ha un solo effetto: eliminare CC, mantenendo come possibili eventi (TT-TC-CT). TC e CT erano diversi e restano diversi.

Come ho spiegato prima, se guardo UNA SOLA moneta allora sì che rendo TC diverso da CT (in grassetto la moneta che ho guardato) ma se le guardo ENTRAMBE non posso fare preferenze. I due eventi sono diversi. Con tutto ciò che ne consegue.

ripeto
SOLUZIONE:
Delle quattro possibilità (TT - TC - CC - CT) l'ultima è esclusa per ripetizione della probabilità.
E' UN RAGIONAMENTO SBAGLIATO E FUORVIANTE

nonostante questo la risposta resta 33%.
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francesca
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Re: Probabilità

Messaggio da francesca » 5 agosto 2011, 16:25

:shock: :shock: :shock:

leo
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Re: Probabilità

Messaggio da leo » 15 agosto 2011, 5:01

ipeto
Cita:
SOLUZIONE:
Delle quattro possibilità (TT - TC - CC - CT) l'ultima è esclusa per ripetizione della probabilità.

E' UN RAGIONAMENTO SBAGLIATO E FUORVIANTE

nonostante questo la risposta resta 33%.
E' il ragionamento di chi ha proposto l'indovinello, in ogni caso.

La persona ha già lanciato le monete ed ha già GUARDATO IL RISULTATO DEL LANCIO

Il che vuol dire che la moneta 'testa' è già uscita ed è già nella sua mano, l'altro non può vedere quale sia ma sa che è una delle due .....

E' per questo che seguendo lo schema logico dell'indovinello CT e TC sono una ripetizione

Io, almeno, non riesco a non vederla in questo modo...
Il punto 3, o per meglio dire, il fatto che tu voglia differenziare il punto 2 dal punto 3 non lo riesco a capire sinceramente. Qui si parla, io credo, di un evento reale, o meglio accaduto. Il punto 1 si presta alla Logica Astratta del calcolo delle probabilità perchè l'evento sta per essere. Fintantoché nessuno conosce il risultato dei lanci l'evento è in una condizione di esistenza potenziale, se le monete fossero riposte prima che qualcuno avesse la possibilità di verificare il risultato si potrebbero fare ipotesi basate sl calcolo delle probabilità, ma , al tempo stesso, quell'evento sarebbe passato inosservato, venendosi a trovare in una condizione di non esistenza. Nessun risultato osservabile.

La persona che guarda le monete prima di svelare che non sono due croci (o che una delle due è testa) VEDE la moneta testa, fissandola così nel tempo e nello spazio. Quella moneta si trova in una delle sue mani (o sotto uno dei due bicchieri, o così via) non in entrambe.
Spero di aver chiarito il mio punto di vista.
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Re: Probabilità

Messaggio da leo » 17 agosto 2011, 5:38

3 - Una persona guarda ENTRAMBE le monete e dice: "almeno una è testa". Anche questa affermazione altera la probabilità. Io credo che però la alteri in modo diverso dalla situazione precedente, proprio perchè è una situazione DIVERSA dalla precedente. Proprio il fatto di aver guardato entrambe le monete obbliga a considerare le uscite CT e TC come eventi diversi. E il testo dell'indovinello, anche se non lo dice chiaramente, mi fa pensare che siano state guardate entrambe le monete e non una sola.


Ci ho pensato ancora e credo di poter dire che il tuo ragionamento non si può applicare ad una situazione reale. L'unica scenario che mi viene in mente in favore della tua soluzione è che la persona che lancia le monete possa prevedere in anticipo che almeno una delle due sarà testa. Ma questo PRIMA di eseguire il lancio, o comunque PRIMA di osservare il RISULTATO del lancio.

A mio modo di vedere è illogico sostenere che se la persona guarda ENTRAMBE le monete allora esse si trovano in una condizione di esistenza sospesa. Entrambe sarebbero testa e croce allo stesso tempo in accordo col tuo ragionamento. E' una forzatura. Un'astrazione applicata ad uno scenario reale e definito. Osservabile ed osservato.
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Sergio67
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Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 19 agosto 2011, 16:42

leo ha scritto:Il punto 3, o per meglio dire, il fatto che tu voglia differenziare il punto 2 dal punto 3 non lo riesco a capire sinceramente. Qui si parla, io credo, di un evento reale, o meglio accaduto. Il punto 1 si presta alla Logica Astratta del calcolo delle probabilità perchè l'evento sta per essere. Fintantoché nessuno conosce il risultato dei lanci l'evento è in una condizione di esistenza potenziale, se le monete fossero riposte prima che qualcuno avesse la possibilità di verificare il risultato si potrebbero fare ipotesi basate sl calcolo delle probabilità, ma , al tempo stesso, quell'evento sarebbe passato inosservato, venendosi a trovare in una condizione di non esistenza. Nessun risultato osservabile.

La persona che guarda le monete prima di svelare che non sono due croci (o che una delle due è testa) VEDE la moneta testa, fissandola così nel tempo e nello spazio. Quella moneta si trova in una delle sue mani (o sotto uno dei due bicchieri, o così via) non in entrambe.
Spero di aver chiarito il mio punto di vista.
Stiamo parlando della probabilità che attribuisce al risultato una persona che NON ha ancora visto le monete. Parlando con il tuo linguaggio, dal suo punto di vista gli eventi SONO ANCORA POTENZIALI. Il lancio è certamente reale, ma se gli eventi TC, CT e TT non fossero ancora potenziali non avrebbe senso parlare di probabilità.
leo ha scritto:A mio modo di vedere è illogico sostenere che se la persona guarda ENTRAMBE le monete allora esse si trovano in una condizione di esistenza sospesa. Entrambe sarebbero testa e croce allo stesso tempo in accordo col tuo ragionamento. E' una forzatura. Un'astrazione applicata ad uno scenario reale e definito. Osservabile ed osservato.
Non è la persona che ha visto le monete che attribuisce la probabilità, ma un'altra. Per la persona che ha visto le monete non c'è nessun calcolo delle probabilità, sa benissimo cosa è uscito. Ma per chi deve rispondere il risultato è ancora ignoto, e quindi, sebbene le monete siano già state lanciate si trovano ancora in uno stato di esistenza sospesa. Se così non fosse non potremmo nemmeno parlare di probabilità.

Lanciamo le monete e mettiamole sotto due bicchieri. Io le guardo e ti dico che non sono due croci. Poi tu mi dai la tua probabilità di avere due teste. Poi guardi sotto i bicchieri. Uno per volta. Quando dici che "La prima moneta è testa" stai dicendo che SICURAMENTE sotto il primo bicchiere che scopri troverai una testa. Solo così la probabilità potrebbe essere del 50%. Ma non hai nessuna garanzia che sotto il primo bicchiere troverai una testa. Potresti benissimo trovare una croce. Questo fatto nei calcoli viene preso in considerazione considerando sia CT che TC nel calcolo della probabilità. Ricordati che tu NON hai visto le monete, quindi sei obbligato a considerarle ancora in condizione di "esistenza sospesa". Anche se sono già state lanciate...
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Re: Probabilità

Messaggio da leo » 4 novembre 2011, 5:18

Non ne verremo mai a capo.

Perchè come hai giustamente detto tu si tratta di stabilire come interpretare l'indovinello, e qui entra in gioco la logica, ma anche la grammatica.

Per come è scritto, io penso d'aver ragione. Il ragionamento che fai tu, secondo me, non si applica in questo caso, per le ragioni che mi sono sforzato di esprimere....
Stiamo parlando della probabilità che attribuisce al risultato una persona che NON ha ancora visto le monete. Parlando con il tuo linguaggio, dal suo punto di vista gli eventi SONO ANCORA POTENZIALI.
..ci si avvicina ad un territorio pericoloso.. la fisica quantistica...
(fino a quando l'osservatore non vede coi propri occhi la moneta è testa e croce al tempo stesso... il gatto è vivo ed è morto al tempo stesso..)


L'autrice comunque ti ha dato ragione..
M'interesserebbe conoscere il punto di vista della mia concittadina sulla questione

saluti saluti
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Eddd
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Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 27 dicembre 2011, 23:52

Questo giochino qua ha fatto sempre discutere parecchio, propongo una piccola variante perché leo secondo me tutti i torti non li ha. Supponiamo che le due monete siano state colorate, una è rossa e l'altra è blu.
Assumiamo che come prima vengano lanciate allo stesso modo, ora dopo che sono state lanciate e si sono posate sul tavolo viene nascosto il risultato e

1) chi può osservarle dice veritieramente "una delle due è testa"; ecco in questo caso qua quale è la probabilità che entrambe siano testa?

2) E se dopo aver detto questa cosa l'osservatore aggiungesse l'informazione vera nella situazione attuale che una moneta con segno testa verso l'alto è blu, in quest'altro caso quale sarebbe la probabilità che siano venute fuori due teste?

3) E ancora se al contrario dopo aver osservato (1) e averlo comunicato, chi guarda le monete aggiungesse l'informazione vera nella situazione attuale che una moneta con segno testa verso l'alto è rossa, quale sarebbe la probabilità che siano venute fuori due teste?

In questi due ultimi casi (2 e 3) la probabilità che siano venute fuori due teste per chi non può osservare il risultato, è uguale o è diversa a quella in cui (1) si è in possesso solo dell'informazione che "una delle due monete è testa"? :?:

Ragionando come ha suggerito sergio si va incontro comunque al paradosso che nell'aggiungere l'informazione sul colore di una delle monete-testa si passa dalla probabilità del 33,3% a quella del 50%, ma alla fine se una delle due è testa ed io che vedo il risultato comunico all'altro (quello che dovrebbe calcolare la probabilità) il colore della moneta col segno testa, visto che se ce n'è una di testa (secondo le mie ipotesi aggiuntive riguardo al fatto che una moneta è blu e una è rossa), di un certo colore dovrà pur essere... In che modo favorisco l'uscita delle due teste a giochi fatti? :?
La probabilità calcolata col sistema di sergio con l'aggiunta dell'informazione sul colore, quando però il lancio è già stato effettuato, dovrebbe far variare la probabilità dell'uscita TT da 1/3 a 1/2. Ma io osservatore potrei aggiungerla sempre l'informazione sul colore della moneta dopo il lancio in tutti i casi in cui una delle due è testa per quante volte giochiamo: basta che guardo di che colore è la prima moneta col segno testa che osservo, e glielo dico alla persona che dovrebbe calcolare con quale probabilità ci siano due teste. Insomma se apro bocca in ogni singola situazione in cui c'è una testa e dico pure di che colore è una delle teste che son venute fuori elimino davvero una possibilità in più? Ma in pratica nel gioco cosa cambia? La cosa per me è davvero ambigua, veramente non si capisce bene come si dovrebbe ragionare correttamente, non sono completamente errati tutti e due i modi di ragionare, ma sembra che non siano nemmeno completamente corretti.

Con i sistemi di calcolo matematici standard si calcola la probabilità di un evento al verificarsi ipotetico di altri eventi, la questione per me diventa davvero spinosa quando gli eventi si sono verificati già e quel che si fa è aggiungere certe informazioni in singole situazioni rispetto a quello che è accaduto, si descrive una situazione reale in atto e non si ha a che fare più con situazioni potenziali, questa cosa io non saprei come trattarla, conosciamo qualcosa in più rispetto ad una situazione singola ed isolata e non rispetto ad un esperimento in generale. Io perciò condivido le perplessità di leo.

leo ha messo in evidenza certe differenze che secondo me non sono affatto banali, se una persona si fermasse un attimo, senza applicare in automatico certe regole di ragionamento apprese, e ci riflettesse su per qualche minuto capirebbe che c'è comunque un inghippo. Un giochino simile a questo dal simpatico titolo "una sfida al lettore" (però in cui al posto delle monete ci sono le carte) viene discusso nel bel libro Introduzione alla logica di Irving M. Copi e Carl Cohen. Sembra che anche certi studiosi si siano accapigliati sulla questione, gli autori del libro però non prendono posizione ed esortano il lettore stesso a cercare altre ragioni per sostenere la sua tesi. Io guardate ancora non sono riuscito a chiarirmi bene la cosa :? .
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

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Sergio67
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Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 16 gennaio 2012, 1:24

La probabilità riguarda sempre la possibilità di eventi potenziali. Il problema non è tanto se il lancio è già stato fatto, quanto il fatto che io ne conosco l'esito.
Tra l'altro è possibile definire una probabilità anche per eventi non più potenziali ma certi, e tale probabilità è semplicemente il 100%, ovvero la certezza.

Per capirci, supponiamo che lanciamo due monete e nessuno le guarda. Quanto scommetteresti sul fatto che sono uscite due teste? Qual'è la vincita che riterresti equa? Il fatto che hai già lanciato le monete cambia qualcosa riguardo alla cifra che scommetteresti? E alle probabilità di vittoria?
Io credo che tutti risponderebbero che avere già lanciato le monete non cambia molto la situazione, almeno fintanto che nessuno le guarda.
Di fronte a questa affermazione mi viene da dire che non dovrebbe essere difficile accettare il fatto che se qualcuno le guarda la situazione cambia. In effetti nessuno dice che dopo l'affermazione la probabilità di due teste è rimasta al 25%. In questo nessuno trova alcunché di paradossale.
La domanda più precisa però è: in che modo cambia?
La risposta è che dipende dal tipo di informazione che ricevo. Se dico che ci sono due teste la probabilità è diventata del 100%, e anche su questo penso che tutti si dovrebbero trovare d'accordo senza pensare che sia una cosa paradossale.
In maniera molto empirica possiamo dire che maggiore è l'informazione che si ha a disposizione e maggiore è la probabilità dell'evento cercato, pertanto non trovo nessun paradosso nel fatto che dire "la moneta blu è testa" rispetto a "una moneta è testa" fa passare la probabilità dal 33,3% al 50%. La prima frase infatti contiene un contenuto informativo decisamente superiore: vincola le combinazioni compatibili molto più della seconda.

Se comprendiamo che il modo in cui cambiano le probabilità dipende da quello che diciamo sul lancio, non dovrebbe essere difficile capire che due frasi diverse cambiano le probabilità in modo diverso. E che davvero non c'è nessun paradosso.
E ti ringrazio, il meccanismo dei colori è davvero carino per evidenziare le differenze tra le varie affermazioni.

Il fatto che poi possa sempre dire almeno un colore non fa diventare la frase "la moneta blu è testa" (o "la moneta rossa è testa") uguale alla frase "almeno una moneta è testa", la quale in forma completa dovrebbe recitare "o la moneta rossa o la moneta blu è testa".

Provo a rovesciare l'indovinello. Supponiamo che tiriamo le due monete e che ne guardo l'uscita. La regola è: se escono due croci te le faccio vedere e ritiro le monete. Altrimenti non te le faccio vedere e tu punti su una delle uscite. Tiro le monete le guardo e ti chiedo di puntare.Su cosa punteresti? Su due teste o su una testa o una croce?
Il fatto è che da un punto di vista di logica formale questa situazione è esattamente equivalente all'indovinello originario perché l'affermazione "La moneta rossa e la moneta blu non sono entrambe croce" è equivalente a "o la moneta rossa o la moneta blu è testa". Ma è davvero diverso dal dire "la moneta blu è testa".

Provo a fare un altro esempio per far capire come la quantità di informazioni trasmesse cambia la probabilità degli eventi e come non vi sia alcun paradosso in questo.
Supponiamo che ti dico che prima guardo la moneta blu e se è testa ti dico "la moneta blu è testa" e mi fermo lì. Altrimenti guardo anche la moneta rossa e se è testa ti dico "la moneta rossa è testa". Le due frasi sono ancora equivalenti? Se non lo sono, la cosa costituisce un paradosso o no? E perché non costituisce un paradosso?
Se le due frasi NON sono equivalenti perché dire "la moneta blu è testa" dovrebbe essere equivalente a dire "una moneta è testa"?

Sono riuscito a convincerti?
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Re: Probabilità

Messaggio da leo » 21 gennaio 2012, 0:06

Per quanto mi riguarda siamo nello stesso territorio di prima. L'interpretazione dell'indovinello.
L'esempio dei colori in effetti era interessante e costituisce una sorta di paradosso. Dire 'la moneta blu è testa' non equivale a dire 'una delle due è testa' , almeno dal punto di vista di chi non conosce il risultato.

Ma la persona che ti ha dato l'informazione ha visto almeno una delle due monete. E dal suo punto di vista le frasi 'quella Blu' e 'una delle due' sono equivalenti perché lui SA 'QUAL E' QUELLA BLU' (è un po' contorto ma spero di essermi spiegato)....

Chi deve indovinare sa che chi ha lanciato e guardato sa. Perciò per tornare a citare i post precedenti non deve fare un calcolo delle probabilità considerando: TT,TC e CT.... deve considerare T come punto di partenza, e X(T o C) come variabile. Quindi 50%...
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Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 21 gennaio 2012, 1:06

Sergio67 ha scritto:La probabilità riguarda sempre la possibilità di eventi potenziali. Il problema non è tanto se il lancio è già stato fatto, quanto il fatto che io ne conosco l'esito.
Tra l'altro è possibile definire una probabilità anche per eventi non più potenziali ma certi, e tale probabilità è semplicemente il 100%, ovvero la certezza.

Per capirci, supponiamo che lanciamo due monete e nessuno le guarda. Quanto scommetteresti sul fatto che sono uscite due teste? Qual'è la vincita che riterresti equa? Il fatto che hai già lanciato le monete cambia qualcosa riguardo alla cifra che scommetteresti? E alle probabilità di vittoria?
Io credo che tutti risponderebbero che avere già lanciato le monete non cambia molto la situazione, almeno fintanto che nessuno le guarda.
Di fronte a questa affermazione mi viene da dire che non dovrebbe essere difficile accettare il fatto che se qualcuno le guarda la situazione cambia. In effetti nessuno dice che dopo l'affermazione la probabilità di due teste è rimasta al 25%. In questo nessuno trova alcunché di paradossale.
La domanda più precisa però è: in che modo cambia?
La risposta è che dipende dal tipo di informazione che ricevo. Se dico che ci sono due teste la probabilità è diventata del 100%, e anche su questo penso che tutti si dovrebbero trovare d'accordo senza pensare che sia una cosa paradossale.
In maniera molto empirica possiamo dire che maggiore è l'informazione che si ha a disposizione e maggiore è la probabilità dell'evento cercato, pertanto non trovo nessun paradosso nel fatto che dire "la moneta blu è testa" rispetto a "una moneta è testa" fa passare la probabilità dal 33,3% al 50%. La prima frase infatti contiene un contenuto informativo decisamente superiore: vincola le combinazioni compatibili molto più della seconda.

Se comprendiamo che il modo in cui cambiano le probabilità dipende da quello che diciamo sul lancio, non dovrebbe essere difficile capire che due frasi diverse cambiano le probabilità in modo diverso. E che davvero non c'è nessun paradosso.
E ti ringrazio, il meccanismo dei colori è davvero carino per evidenziare le differenze tra le varie affermazioni.

Il fatto che poi possa sempre dire almeno un colore non fa diventare la frase "la moneta blu è testa" (o "la moneta rossa è testa") uguale alla frase "almeno una moneta è testa", la quale in forma completa dovrebbe recitare "o la moneta rossa o la moneta blu è testa".

Provo a rovesciare l'indovinello. Supponiamo che tiriamo le due monete e che ne guardo l'uscita. La regola è: se escono due croci te le faccio vedere e ritiro le monete. Altrimenti non te le faccio vedere e tu punti su una delle uscite. Tiro le monete le guardo e ti chiedo di puntare.Su cosa punteresti? Su due teste o su una testa o una croce?
Il fatto è che da un punto di vista di logica formale questa situazione è esattamente equivalente all'indovinello originario perché l'affermazione "La moneta rossa e la moneta blu non sono entrambe croce" è equivalente a "o la moneta rossa o la moneta blu è testa". Ma è davvero diverso dal dire "la moneta blu è testa".

Provo a fare un altro esempio per far capire come la quantità di informazioni trasmesse cambia la probabilità degli eventi e come non vi sia alcun paradosso in questo.
Supponiamo che ti dico che prima guardo la moneta blu e se è testa ti dico "la moneta blu è testa" e mi fermo lì. Altrimenti guardo anche la moneta rossa e se è testa ti dico "la moneta rossa è testa". Le due frasi sono ancora equivalenti? Se non lo sono, la cosa costituisce un paradosso o no? E perché non costituisce un paradosso?
Se le due frasi NON sono equivalenti perché dire "la moneta blu è testa" dovrebbe essere equivalente a dire "una moneta è testa"?

Sono riuscito a convincerti?
Per la verità no, io provo a spiegarmi meglio perché non è difficile da capire quello che voglio dire, non sto mettendo in dubbio le basi teoriche del calcolo delle probabilità, là è tutto chiaro.

Se ti dico che la testa è rossa quale è la probabilità? 50% giusto
Se ti dico che la testa è blu quale è la probabilità? secondo i tuoi calcoli sempre 50%

Ora se facciamo praticamente il giochino, in un singolo caso in cui è venuta fuori testa posso aggiungere l'informazione sul colore, supponiamo che sia blu, io te lo dico, tu segui il tuo schema di calcolo basato sull'aumento dell'informazione e dici che la probabilità è del 50%, continuiamo a giocare, seconda prova in cui c'è una testa, viene fuori una testa rossa ed io te lo dico di nuovo, tu in quest'altro singolo caso seguirai il tuo sistema di calcolo, ti ho detto di che colore è la testa? Sì, perciò è sempre del 50% (se prima hai ragionato così col colore blu non c'è motivo che cambi schema a causa del fatto che il colore adesso è diverso), facciamo 10000 partite ed io ogni volta che c'è una testa ti dico anche il colore, che differenza c'è sostanziale in questo esperimento e quello in cui ti dico che c'è una testa senza aggiungere pure l'informazione sul colore? La tua stima astratta rispetto a ogni singolo caso era del 50%, ma è una stima falsata perché io non ho fatto altro che dirti di che colore era la testa che è venuta fuori ogni volta che è venuta fuori una testa, questa operazione non rappresenta un vincolo reale rispetto al possibile dell'esperimento. Se si interpreta ogni singola partita come un'istanza di questo schema qua che ho appena descritto la probabilità resta 1/3.

Ora tu come fai a sapere che il singolo caso descritto inizialmente appartiene al tipo di esperimento generale che ti sei immaginato tu, in cui effettivamente poi ti troverai in accordo con le tue stime probabilistiche (con le quali sono d'accordo pure io se lo si interpreta così), e non a quello che ho immaginato e descritto io adesso? Una singola situazione o la descrizione di una sequenza di avvenimenti spesso non ci dice chiaramente a quale ambito variabile appartiene al livello probabilistico.

Qua c'è un'ambiguità, il singolo caso non ci dà abbastanza informazioni rispetto a quale sia l'esperimento generale al quale appartiene e che "lo ha prodotto". Su questo leo ha ragione, ed ha messo bene in evidenza questo problema qua perché le informazioni del problema queste sono, e così come sono state espresse sono compatibili con diverse interpretazioni che in linea di principio potrebbero andare tutte bene.

Se sapessi qualcos'altro potrei dirti come sia più razionale scommettere, ma visto che non lo so, io sospendo il giudizio :mrgreen:.

Se il singolo caso fa parte dell'esperimento schematico generale che ho descritto prima la probabilità resta comunque 1/3, se fa parte dello schema descritto da te 1/2. In un singolo caso viene aggiunta l'informazione rispetto al colore in entrambi gli schemi, ma questa informazione modifica davvero il possibile solo se si inserisce il singolo caso in un certo contesto "algoritmico" con certe variabili aleatorie.

Saluti
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Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 21 gennaio 2012, 9:37

leo ha scritto:Per quanto mi riguarda siamo nello stesso territorio di prima. L'interpretazione dell'indovinello.
Certo che se rifiuti ogni possibile enunciato equivalente, è proprio inutile cercare di discutere.
leo ha scritto:L'esempio dei colori in effetti era interessante e costituisce una sorta di paradosso. Dire 'la moneta blu è testa' non equivale a dire 'una delle due è testa' , almeno dal punto di vista di chi non conosce il risultato.
Non c'è nessun paradosso, sono frasi diverse, perché mai dovrebbero essere equivalenti?
leo ha scritto:Ma la persona che ti ha dato l'informazione ha visto almeno una delle due monete. E dal suo punto di vista le frasi 'quella Blu' e 'una delle due' sono equivalenti perché lui SA 'QUAL E' QUELLA BLU' (è un po' contorto ma spero di essermi spiegato)....
Quindi visto che, sapendo lui il risultato, dal suo punto di vista non cambia nulla potrebbe anche aggiungere che cosa è uscito nella moneta rossa, tanto il risultato del lancio non può mica più cambiare. In ogni caso non è lui che deve indovinare, il suo punto di vista non è particolarmente rilevante in questo senso.
leo ha scritto:Chi deve indovinare sa che chi ha lanciato e guardato sa. Perciò per tornare a citare i post precedenti non deve fare un calcolo delle probabilità considerando: TT,TC e CT.... deve considerare T come punto di partenza, e X(T o C) come variabile. Quindi 50%...
Ancora una volta non trovo la consequenzialità logica tra la premessa e la conclusione. E' proprio il fatto che chi deve indovinare sa che chi ha lanciato ha guardato ENTRAMBE le monete che deve considerare tutte e tre le combinazioni. Potrebbe usare T come punto di partenza solo se sapesse che chi ha lanciato ha guardato UNA SOLA MONETA.
Ma tanto siamo sempre al punto di partenza. So già che risponderai "l'indovinello non dice che ha guardato una sola moneta, quindi il tuo esempio non mi interessa". In effetti non so neanche perché continuo a risponderti, hai deciso che, dato il testo dell'indovinello, il calcolo si deve fare come dici tu e su questo non sei disposto a nessun confronto.
Cordiali saluti
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Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 21 gennaio 2012, 9:58

Eddd ha scritto:Se ti dico che la testa è rossa quale è la probabilità? 50% giusto
Se ti dico che la testa è blu quale è la probabilità? secondo i tuoi calcoli sempre 50%
Certamente, tu non sei d'accordo?
Eddd ha scritto:Ora se facciamo praticamente il giochino, in un singolo caso in cui è venuta fuori testa posso aggiungere l'informazione sul colore, supponiamo che sia blu, io te lo dico, tu segui il tuo schema di calcolo basato sull'aumento dell'informazione e dici che la probabilità è del 50%, continuiamo a giocare, seconda prova in cui c'è una testa, viene fuori una testa rossa ed io te lo dico di nuovo, tu in quest'altro singolo caso seguirai il tuo sistema di calcolo, ti ho detto di che colore è la testa? Sì, perciò è sempre del 50% (se prima hai ragionato così col colore blu non c'è motivo che cambi schema a causa del fatto che il colore adesso è diverso), facciamo 10000 partite ed io ogni volta che c'è una testa ti dico anche il colore, che differenza c'è sostanziale in questo esperimento e quello in cui ti dico che c'è una testa senza aggiungere pure l'informazione sul colore?
C'è la differenza sostanziale che hai aggiunto l'informazione sul colore. Sarà anche vero che almeno una delle due è sempre testa e puoi sempre dire un colore, ma proprio il fatto che qualche volta dici blu e qualche volta dici rosso è un contenuto informativo rilevante. Non dici rosso e blu "a caso". Dici rosso quando è testa la rossa e dici blu quando è testa la blu. Non è mica poco.
Eddd ha scritto:La tua stima astratta rispetto a ogni singolo caso era del 50%, ma è una stima falsata perché io non ho fatto altro che dirti di che colore era la testa che è venuta fuori ogni volta che è venuta fuori una testa, questa operazione non rappresenta un vincolo reale rispetto al possibile dell'esperimento. Se si interpreta ogni singola partita come un'istanza di questo schema qua che ho appena descritto la probabilità resta 1/3.
Stai facendo confusione tra la probabilità di un singolo evento e la probabilità globale delle ripetizioni. E' chiaro che la frequenza della combinazione di due teste sarà complessivamente 1/3 degli eventi ma essendo gli eventi indipendenti questo non ti dà informazioni sul singolo lancio. Per fare un parallelo se lancio 9 volte una moneta e esce 9 volte testa la probabilità del 10 lancio non cambia. Se mi dici di che colore è la testa la probabilità di QUEL lancio di avere due teste è del 50% e non contano i lanci passati e i lanci futuri. So che è difficile da capire, ma è così.
Eddd ha scritto:Ora tu come fai a sapere che il singolo caso descritto inizialmente appartiene al tipo di esperimento generale che ti sei immaginato tu, in cui effettivamente poi ti troverai in accordo con le tue stime probabilistiche (con le quali sono d'accordo pure io se lo si interpreta così), e non a quello che ho immaginato e descritto io adesso? Una singola situazione o la descrizione di una sequenza di avvenimenti spesso non ci dice chiaramente a quale ambito variabile appartiene al livello probabilistico.
Si chiamano eventi indipendenti. E in caso di eventi indipendenti non c'è nessuna relazione tra il singolo evento e la sequenza.
Eddd ha scritto:Qua c'è un'ambiguità, il singolo caso non ci dà abbastanza informazioni rispetto a quale sia l'esperimento generale al quale appartiene e che "lo ha prodotto". Su questo leo ha ragione, ed ha messo bene in evidenza questo problema qua perché le informazioni del problema queste sono, e così come sono state espresse sono compatibili con diverse interpretazioni che in linea di principio potrebbero andare tutte bene.

Se sapessi qualcos'altro potrei dirti come sia più razionale scommettere, ma visto che non lo so, io sospendo il giudizio :mrgreen:.

Se il singolo caso fa parte dell'esperimento schematico generale che ho descritto prima la probabilità resta comunque 1/3, se fa parte dello schema descritto da te 1/2. In un singolo caso viene aggiunta l'informazione rispetto al colore in entrambi gli schemi, ma questa informazione modifica davvero il possibile solo se si inserisce il singolo caso in un certo contesto "algoritmico" con certe variabili aleatorie.
Ribadisco il concetto che il singolo caso appartiene solo al singolo caso e non alla sequenza di estrazioni. Punteresti alla roulette sulla base delle uscite precedenti? Per tornare all'esempio in oggetto, ai primi due lanci sono uscite due combinazioni TC, la combinazione TT è ora diventata più probabile?
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Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 21 gennaio 2012, 11:18

Sergio67 ha scritto:Se mi dici di che colore è la testa la probabilità di QUEL lancio di avere due teste è del 50% e non contano i lanci passati e i lanci futuri. So che è difficile da capire, ma è così.
Allora ora ti descrivo due "algoritmi" differenti che possono produrre la stessa sequenza di eventi particolari, non c'entra nulla 'sta cosa con i lanci futuri.

1) primo tipo di esperimento) lanciare le due monete, nascondere il risultato [se si osserva una testa blu comunicare l'informazione a chi non può osservarlo. Altrimenti niente].

2) secondo tipo di esperimento) lanciare le due monete, nascondere il risultato [se si osserva una testa, controllare di che colore è la testa osservata, comunicare il colore osservato a chi non può vederlo. Altrimenti niente].

Ora questi due casi sono entrambi compatibili con la descrizione

"una persona lancia due monete, nasconde il risultato e comunica all'altra che è venuta fuori una testa blu, quale è la probabilità che ci siano due teste?"

Se si chiede quale sia la probabilità che vengano fuori due teste, non è difficile capire che risulta distinta in questi due tipi di giochi. Questi due esperimenti producono possibili diversi, se ci ragioni bene, il primo caso corrisponde al calcolo 1/2, il secondo caso al calcolo 1/3. Che sia venuta fuori una testa blu non basta per assicurarci che ci troviamo nel possibile prodotto dal caso 1 e non in realtà nel possibile prodotto dal caso 2; non sappiamo nemmeno l'informazione "c'è una testa blu", che ci è stata comunicata, in che modo sia collegata davvero a tutto il resto dell'esperimento, può darsi che è stata prodotta in base a quello che è venuto fuori come nell'esempio 2. Per dire che è 1/2 la probabilità che siano venute fuori due teste, bisogna aggiungere altre ipotesi che nel problema di partenza non sono state esplicitate.

Se costruisco una macchinetta che funziona come l'esempio 2 in cui ogni volta che esce una testa viene comunicato anche il colore di una delle teste che sono uscite (qualsiasi sia questo colore, a chi gioca) e tutti i singoli giocatori che giocano queste partite pensano e credono che hanno il 50% di possibilità di vincere in questi casi (assumendo che il caso favorevole sia due teste), riesco ad arricchirmi :mrgreen:.
In fin dei conti se è uscita una testa, di uno dei due colori dovrà pur essere, se glielo dico a chi gioca come faccio realmente a favorire l'uscita di due teste? :shock: Poteva dedurre da sé che se c'è una testa o è blu o è rossa, di sicuro è vero adesso uno di questi due casi, che la macchinetta glielo comunichi o meno quale è quello giusto adesso, questo già lo avrebbe saputo anche se gli fosse stato comunicato solo che è uscita una testa.
La macchinetta insomma funziona sempre allo stesso modo probabilisticamente rispetto alla macchinetta che dà soltanto l'informazione che è venuta fuori una testa (quando è venuta fuori davvero), questa aggiunta informativa sul colore costruita seguendo l'esempio 2 non modifica gli esiti generali delle partite. Una singola partita secondo l'esperimento 1 va distinta da una singola partita secondo l'esperimento 2.

Questi due esperimenti seppur diversi possono produrre entrambi la stessa sequenza, nel secondo caso è possibile che venga fuori una testa blu e che chi nasconde il risultato lo comunichi all'altro, ma è il come viene prodotto questo risultato, anche come la comunicazione dell'informazione è collegata causalmente al verificarsi degli eventi, che manca nei dati di base, non sappiamo se l'esperimento empirico effettivo segue le regole del caso 1 o le regole del caso 2. E questo non è di secondaria importanza.

Più chiaro di così io non riesco ad essere. La singola esemplificazione non ci dà abbastanza informazioni nei confronti del possibile sperimentale "algoritmico" a cui dovrebbe appartenere. I casi possibili non li si riescono ad evincere chiaramente per effettuare poi un calcolo probabilistico accurato. Due sequenze di operazioni diverse possono produrre una stessa sequenza astratta (quella che viene descritta inizialmente). Perciò non è importante soltanto quel che è vero effettivamente, ma il come lo si è prodotto a monte.
E' tutto questo nell'insieme che ci dà le informazioni corrette sul possibile da considerare, quando si vuol calcolare la probabilità secondo me. Dobbiamo sapere dove e come sono piazzate certe variabili aleatorie, ed in che modo l'aumento dell'informazione all'interno del gioco è collegato a certe produzioni.

Insomma se non si possiedono certe informazioni importanti rispetto a come lo si è prodotto quel risultato descritto, non si può effettuare un calcolo corretto, e secondo me è più razionale una posizione di sospensione del giudizio oppure in alternativa bisogna tener presente che i dati di cui si dispone possono essere interpretati e analizzati probabilisticamente in più modi.

Saluti
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