Probabilità

Quiz e giochi di logica non sono più solo un passatempo, ma un piacevole modo di prepararsi a un buon colloquio di lavoro. Niente più sensi di colpa, dunque, se ci intratteniamo qualche minuto in più con i giochi per la mente perchè non stiamo facendo altro che allenarci alle modalità più diffuse di selezione aziendale.
Test di conoscenza, attitudinali, di intelligenza e personalità sono, infatti, gli strumenti utilizzati dai selezionatori per valutare le capacità dei candidati e le predisposizioni a un compito o a un iter formativo e professionale

Moderatore: Redazione Pagine Blu

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 25 gennaio 2012, 18:21

Bisogna stare attenti alla logica formale.
L'affermazione P o Q in logica formale implica, se non ricordo male, che solo uno dei due è vero come nel caso "A o non A". Si tratta di un "oppure esclusivo" equivalente allo XOR informatico e non all'operatore "OR"

In ogni caso, giusta o sbagliata che sia la mia affermazione sulla logica formale, qui la situazione è
solo P è vera; solo Q è vera; Sia P che Q sono vere.

Quindi, operativamente, come la calcoli tu la probabilità?
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

leo
Messaggi: 402
Iscritto il: 25 ottobre 2005, 13:36
Località: E.R. - Italia

Re: Probabilità

Messaggio da leo » 25 gennaio 2012, 23:03

Sergio, come temevo non hai capito o non ti sei sforzato di capire quello che tentavo di dire.
Allora considera che in qualche modo il mio punto di vista non è che un arricchimento rispetto al calcolo probabilistico, ok? Non è in antitesi.
Il fatto che tu mi attribuisci l'idea di una "probabilità filosofica" significa che vuoi a tutti costi snobbare un punto di vista sulla questione che , secondo me, non hai ancora del tutto capito..
E' questa la domanda "filosofica" se vuoi. Come fa a "dedurre tranquillamente" che una delle due è fissa nel tempo? Lui lo può anche "dedurre tranquillamente" ma è una deduzione "filosofica" e non "matematica" pertanto non ha nessuna garanzia di realtà.
Non riesco a capire quello che stai dicendo.. Non è affatto una deduzione illogica (deduzione 'filosofica' non so bene cosa voglia dire quindi uso la questa parola). Piuttosto si dovrebbe cercare di stabilire se il giocatore 2 può o meno fare questa deduzioni viste le informazioni di cui è in possesso. Ricordiamoci che ci troviamo in una situazione reale.

Insomma ritornando all'enunciato. Vorrei farti una domanda. Se tu avessi di fronte all'osservatore e lui ti dicesse che "almeno una delle due monete è testa", e tu fossi obbligato a puntare per l'una o per l'altra possibilità, punteresti CONTRO l'uscita di due teste, giusto?
"Pago la rimozione/ nessuna reazione
Per questo Lula non vince quasi mai" M.C.

Avatar utente
Eddd
Messaggi: 644
Iscritto il: 11 agosto 2007, 16:26

Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 26 gennaio 2012, 0:15

Eddd ha scritto:
Nel caso specifico girare una moneta con la "testa", se ci pensi bene, non aggiunge nessuna informazione al fatto che "almeno una è testa". Chi gira la moneta infatti non lo fa "a caso" ma sapendo con certezza che sta girando una testa. Ti ho già dimostrato attraverso un ragionamento logicamente rigoroso che, per me che non ho altre informazioni e devo calcolare lo spazio degli eventi, la probabilità rimane 1/3.
Ma è qua che sostengo che si applicano modelli diversi perché mancano informazioni.
Tu non puoi sapere se ha girato la moneta con testa, scegliendone una con testa che è venuta fuori dopo il lancio, o ha girato la prima moneta e basta infischiandosene del segno, che magari casualmente nella situazione specifica, che s'è andata a creare effettivamente ora, è venuta fuori testa. "non lo fa a caso" è un'informazione che aggiungi tu, nella traccia del problema non lo si evince chiaramente questo.
Io è in questi punti che sostengo che poi s'arriva ad applicare modelli diversi, e sorgono controversie. All'inizio (nel gioco non modificato) noi sappiamo solo quello che ci ha detto, e cioé che ora, adesso "c'è almeno una testa", ma non sappiamo come l'ha verificato questo e se sarebbe riuscito a saperlo e verificarlo (chi ce lo comunica) pure negli altri casi diversi da quello in atto, arrivando a dirci "almeno una delle due è testa". Se ha scelto prima una delle due monete e casualmente è venuta fuori testa e seguendo 'sto criterio ci ha detto poi che "almeno una delle due è testa" la probabilità che vengano fuori due teste cambia e risulta 1/2, anche se adesso, nella situazione specifica in atto, ci ha detto qualcosa di vero e sono vere tutte le ipotesi del problema.

Saluti
Per me bastano queste obiezioni qua, poi se vuoi approfondiamo il mio punto di vista. Se impostiamo quello che è descritto dalla traccia di partenza, come hai detto tu, si trova 1/3, ma questo è ovvio, io non ho mai detto che non mi trovo col tuo ragionamento. Se pensi che stiamo dibattendo su questo punto qua possiamo anche smetterla. Se per te altri modi di vedere quel che è descritto sono sbagliati in sé, che parliamo a fare? Ho mostrato che ci sono situazioni compatibili con la traccia in cui non viene fuori 1/3 (compatibili nel senso che sono vere le ipotesi della traccia), tu dici che non vanno bene perché il senso comune avrebbe interpretato diversamente quel che c'è scritto, ma là quello che c'è scritto per me ti dà meno informazioni rispetto a quelle che vuoi usare tu per applicare questo modello qua.

Certe cose si potrebbe arrivare a sapere che sono vere non indipendentemente da quel che diviene vero ed in atto adesso, questo vuol dire che magari solo adesso sai che sono vere, ma potresti non arrivare a saperle se si verificassero in un altro contesto possibile.

Se qualcosa sai che è vera quando è vera in ogni contesto possibile allora si può ragionare "senza complicazioni" come fai tu, e sono d'accordo, ma questo potrebbe non capitare quando ci viene data un'informazione in un caso specifico. L'esperimento che viene descritto all'inizio fa capire solo che vengono lanciate le monete e dopo il lancio ci viene detto che una è testa.
Immagina cosa succede si lanciano le monete esce "TC" e dopo ci viene detto "Almeno una delle due è testa", ora qualcosa del genere è successo, niente di più.
Metti che l'informazione "Almeno una delle due è testa" nel caso fosse uscito qualcos'altro come CT (quindi nel caso ci trovassimo in un altro contesto e non all'interno di quel che è accaduto adesso effettivamente) non ci fosse stata comunicata, beh, effettueremmo un calcolo sbagliato. Quell'"Almeno una delle due è testa" indica di sicuro qualcosa di vero adesso (cioé quando è uscito "TC") non il fatto che negli altri casi in cui è vero questo (e cioé che una delle monete è testa) ci sarebbe stato comunicato comunque. Se il comunicarci quell'espressione corrisponde al verificarsi probabilistico dell'evento TT o TC o CT ci troviamo tutti, non c'è da discutere qua. Lo ripeto se pensi che stiamo discutendo su questo possiamo smettere, perché siamo già d'accordo. Io sono arrivato alla conclusione che qualcuno interpreta quell'espressione come se gli venisse data l'informazione

"è vero adesso e in ogni caso che la prima moneta è testa oppure è vero adesso e in ogni caso che la seconda moneta è testa"

e c'è chi l'interpreta come se gli venisse data l'informazione

"è vero adesso ed in ogni caso che la prima moneta è testa o la seconda è testa"

Qualcuno l'interpreta insomma usando l'espressione modale (è Necessario (P o Q)) altri come (è Necessario P o è Necessario Q). La "o" è quella disgiuntiva in entrambi i casi, s'usa soprattutto questa in logica (non solo formale), quella insomma che significa non (non P e non Q). Se stiamo a quel che ci dice l'esperimento al minimo dice solo che (P o Q) è vera.

Saluti
Ultima modifica di Eddd il 26 gennaio 2012, 1:12, modificato 5 volte in totale.
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 26 gennaio 2012, 0:47

leo ha scritto:Sergio, come temevo non hai capito o non ti sei sforzato di capire quello che tentavo di dire.
Allora considera che in qualche modo il mio punto di vista non è che un arricchimento rispetto al calcolo probabilistico, ok? Non è in antitesi.
Il fatto che tu mi attribuisci l'idea di una "probabilità filosofica" significa che vuoi a tutti costi snobbare un punto di vista sulla questione che , secondo me, non hai ancora del tutto capito..
E' questa la domanda "filosofica" se vuoi. Come fa a "dedurre tranquillamente" che una delle due è fissa nel tempo? Lui lo può anche "dedurre tranquillamente" ma è una deduzione "filosofica" e non "matematica" pertanto non ha nessuna garanzia di realtà.
Non riesco a capire quello che stai dicendo.. Non è affatto una deduzione illogica (deduzione 'filosofica' non so bene cosa voglia dire quindi uso la questa parola). Piuttosto si dovrebbe cercare di stabilire se il giocatore 2 può o meno fare questa deduzioni viste le informazioni di cui è in possesso. Ricordiamoci che ci troviamo in una situazione reale.

Insomma ritornando all'enunciato. Vorrei farti una domanda. Se tu avessi di fronte all'osservatore e lui ti dicesse che "almeno una delle due monete è testa", e tu fossi obbligato a puntare per l'una o per l'altra possibilità, punteresti CONTRO l'uscita di due teste, giusto?
No leo, non è che non mi stia sforzando di capire, è che, permettimi, quello che dici non regge. Stai dicendo che "fissare arbitrariamente una moneta col valore testa" è una deduzione logica. E io ti dico che le deduzioni logiche si devono supportare con la matematica, altrimenti si possono fare deduzioni "perfettamente logiche" ma sbagliate come il paradosso di Zenone (sul quale peraltro non hai risposto).
In un "caso reale", dimmi, tu che sai solo che almeno una moneta è testa, COME FAI A FISSARE CON CERTEZZA LA MONETA TESTA? Prova a spiegarmelo in termini semplici, anche non matematici, ma concreti, operativi. Non basta dire "che una delle due è 'fissa' nel tempo e nello spazio e l'altra no" perché una frase del genere è pura speculazione. Fallo, se ci riesci. Fissa, con certezza e con passaggi concreti, la moneta che è certamente testa. Se non ci riesci, vuol dire che non lo puoi fare.
Non so se è questo quello che intendi dicendo che il giocatore 2 "può o meno fare queste deduzioni". Di sicuro non può dedurre con certezza quale moneta è testa. In realtà l'unica deduzione che può fare, se così si può dire, è che non ci sono due croci. Le altre sono ipotesi. E su queste ipotesi può certamente calcolare la probabilità. Non importa che il lancio sia stato già fatto. Non cambia nulla.

Provo a farti tre esempi. Immagina il sorteggio per i gironi dei campionati del mondo. Nell'urna ci sono le lettere del girone. E tutte sono equiprobabili. Nel momento in cui tiro fuori il bussolotto, c'è un girone che è diventato certo e gli altri impossibili, ma per me che non lo so, dentro quel bussolotto ci potrebbe essere qualsiasi lettera, gli eventi hanno ancora una "probabilità", se poi il bussolotto viene aperto la trepidazione non cessa finchè il nome non viene letto, e questo lo puoi leggere come un segnale "fisiologico" di qual'è il momento in cui calcolare le probabilità perde di senso.
Ancora il "mercante in fiera". Stabiliti i premi, le carte vincenti sono definite e quindi la carta vincente il primo premio è quella e solo quella. Ma per chi gioca sono ancora tutte equiprobabili. E si può calcolare la probabilità. Se passa una persona di lì e guarda la carta vincente, le probabilità sono cambiate? No, eppure questa persona ha visto l'evento certo. Oppure devo pensare che se uno guarda la carta finisce tutto e non possiamo più fare ragionamenti probabilistici, è questo che in un certo senso stai dicendo?
Inoltre se questa persona dice "La carta vincente inizia con la lettera A", i giocatori possono o non possono fare ragionamenti probabilistici sulla vittoria?
Hai mai visto il poker in TV? Quando si giocano la mano fino in fondo? Non c'è nessuna aleatorietà nel mazzo. Chi vincerà è già scritto. Ma le probabilità le posso calcolare lo stesso. E se il croupier guardasse le carte, cambierebbero? Certo che no. Infine, se dicesse "Non ci sono carte rosse", questa frase impedirebbe il calcolo delle probabilità, la definizione stessa di una probabilità certa? Assolutamente no, avrebbe come effetto quello di costringere a calcolare delle probabilità, ipotetiche per definizione, compatibili con la condizione esposta, pur essendo ancora una volta già scritto il risultato finale.

Io sinceramente non riesco bene a capire cosa intendi quando dici che essendo le monete già lanciate bisogna tenere in considerazione questo fatto. Io lo considero, perché se non fossero state lanciate non potrei escludere con certezza che siano due croci. Poi dici una frase del tipo, correggimi se sbaglio, "però posso pensare che se una è testa l'altra è o testa o croce". E io ti rispondo "certo che lo puoi pensare, ma relativamente al calcolo delle probabilità è un ragionamento sbagliato". Ora invece di confrontarci sul "perché" è sbagliato a me sembra che continui a rispondere "Sì, ma io lo posso pensare e secondo me è logico pensarlo" come se questo lo rendesse più giusto. E in più aggiungi qualcosa che a me suona come "però non limitiamoci alla sola spiegazione matematica, parliamo del fatto che filosoficamente lo posso pensare" come se la pensata filosofica aggiungesse un qualche valore. Te lo ripeto, filosoficamente puoi pensare quello che ti pare ma se vuoi calcolare la probabilità, nel senso comune della parola, lascia stare la filosofia. Ascolta la matematica.

Mi chiedi se la persona 2 può ragionare sulle possibilità di un evento già scritto. Matematicamente lo può fare di sicuro. Se poi sostieni che ci sono implicazioni filosofiche e che semplicemente ragionando filosoficamente sullo spazio e sul tempo posso arrivare a una conclusione diversa ma altrettanto valida, beh, non posso dire nulla per convincerti, tieniti la tua spiegazione filosofica. Non avrà niente a che vedere con la realtà del mondo, però filosoficamente regge. In merito a questo tipo di ragionamento, se mi sono anche solo avvicinato alle tue idee piuttosto che ancora una volta non aver capito nulla di quello che sostieni, posso solo dire che ho sempre pensato e continuo a pensare che lo spessore filosofico di Benedetto Croce sia prossimo allo zero, dal lato negativo.

Infine la risposta alla tua domanda: punterei tutta la vita sulla combinazione una testa e una croce e, aggiungo, nel lungo periodo vincerei una media di due volte su tre.
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 26 gennaio 2012, 1:09

Eddd, se ho ben capito anche tu sostieni che l'indovinello è mal posto perché dici che sono possibili linee di ragionamento altrettanto valide che portano a una definizione diversa della probabilità.
Quindi la linea di ragionamento che porta a 1/3 è valida ma non è l'unica.
Non solo, sostieni l'affermazione col fatto di averle anche di averle trovate.

C'è da dire che l'esempio che porti prevede lo scoprire una moneta, evento che NON fa parte dell'indovinello, quindi ne dovresti trovare un'altra di dimostrazione relativa a questo caso specifico.

E' meglio chiarire se stiamo dicendo che in natura esistono domande per le quali NON è possibile calcolare con certezza la probabilità, affermazione che non mi sento di contraddire, anche alla luce del teorema di Godel, o se non è possibile calcolare con certezza la probablità di QUESTO indovinello.

Ecco per quanto riguarda questo specifico indovinello, in mancanza di ragionamenti logici inoppugnabili, per quanto mi riguarda la probabilità resta 1/3. Tra parentesi ti ho già mostrato come, secondo me la probabilità resta 1/3 anche se giri una moneta a caso DOPO aver affermato che almeno una è testa. Quindi potremmo benissimo ragionare su questa dimostrazione. Ribadisco però che questo esempio non è adatto perché secondo me viola esplicitamente l'enunciato del problema che dice "te ne nascondo il risultato". Mostrare una moneta non mi sembra compatibile con il "nascondere il risultato".

La mia affermazione è che la probabilità è 1/3 fintanto che sono valide le affermazioni di partenza. Se le cambiamo, certo che la probabilità cambia.
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

Avatar utente
Eddd
Messaggi: 644
Iscritto il: 11 agosto 2007, 16:26

Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 26 gennaio 2012, 1:21

Eddd, se ho ben capito anche tu sostieni che l'indovinello è mal posto perché dici che sono possibili linee di ragionamento altrettanto valide che portano a una definizione diversa della probabilità.
Quindi la linea di ragionamento che porta a 1/3 è valida ma non è l'unica.
Non solo, sostieni l'affermazione col fatto di averle anche di averle trovate.
No, nessuna definizione diversa, è il modello usato nello specifico che è diverso, ma sempre uso la stessa teoria che usi tu. La prima che riporto sotto è l'interpretazione "stile leo", la seconda è la tua interpretazione. Non c'è nessuna definizione diversa di probabilità, la si calcola sempre allo stesso modo.
Io sono arrivato alla conclusione che qualcuno interpreta quell'espressione come se gli venisse data l'informazione

"(è vero adesso e in ogni caso che la prima moneta è testa) o (è vero adesso e in ogni caso che la seconda moneta è testa)"

e c'è chi l'interpreta come se gli venisse data l'informazione

"(è vero adesso ed in ogni caso che (la prima moneta è testa o la seconda è testa))"
mentre può essere vero che la prima moneta è testa e la seconda è testa, nell'ipotesi di sopra non possono essere veri entrambi i disgiunti, sono ipotesi sulla struttura delle possibilità aperte, ma non è che 'ste cose stanno fuori dalla teoria e non si possono esprimere, almeno per me. Per me 'sti due modi di impostare le cose sono compatibili con quello che ci viene detto nella traccia iniziale. Se togliamo "l'adesso e in ogni caso" dalle due espressioni queste diventano identiche ed equivalenti.
Per me vanno bene entrambi, che ci devo fare se non vedo l'assoluta correttezza dell'applicazione di quello che suggerisci tu Sergio? Come ragionamenti non sono sbagliati al livello astratto, se trovi un errore nel primo vorrei sapere dove sta. Nel primo si ragiona per casi, se è vera la prima ipotesi la probabilità di TT è 1/2, se è vera la seconda ipotesi sempre 1/2.

Saluti
Ultima modifica di Eddd il 26 gennaio 2012, 1:49, modificato 4 volte in totale.
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

leo
Messaggi: 402
Iscritto il: 25 ottobre 2005, 13:36
Località: E.R. - Italia

Re: Probabilità

Messaggio da leo » 26 gennaio 2012, 1:29

Si, hai ragione. Non ho detto nulla sul paradosso di Zenone.. be' l'ho sempre trovato molto affascinante. E' chiaro che non può essere applicato ad una situazione pratica. Quindi non direi che centri qualcosa con quello di cui stiamo parlando..
La mia affermazione è che la probabilità è 1/3 fintanto che sono valide le affermazioni di partenza. Se le cambiamo, certo che la probabilità cambia.
Questo è interessante. Penso che sbaglieresti (nel momento in cui l'osservatore guarda una o entrambe le monete)....Ma devo ragionarci ancora un po'. Nel frattempo si potrebbero fare delle prove.
"Pago la rimozione/ nessuna reazione
Per questo Lula non vince quasi mai" M.C.

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 26 gennaio 2012, 1:45

Ma io non ho nessuna difficoltà ad accettare entrambe le affermazioni.

Se una delle due è testa posso certamente affermare che:
O l'affermazione (la moneta 1 è testa) è un evento certo oppure (la moneta 2 è testa) è un evento certo.

ma posso anche affermare
L'affermazione (la moneta 1 oppure la moneta 2 è testa) è un evento certo.

Naturalmente con l'idea di un "oppure" non esclusivo per entrambe le affermazioni dal momento che le monete possono essere entrambe testa. Le due affermazioni sono entrambe vere. Non ho mica dubbi su questo.

Il problema è la trasformazione di queste affermazioni in probabilità.

Ancora con capisco come nel caso della prima affermazione si possa arrivare a 1/2. Ho già dimostrato che anche nel caso della prima affermazione la probabilità è 1/3. Se vuoi te lo ridimostro ancora. Ma forse sarebbe meglio che prima deste una dimostrazione seria di come si fa ad arrivare a 1/2 visto che ancora non è stato fatto.

La probabilità non la puoi mica calcolare dicendo (Caso 1=50% + Caso 2=50%)/2. I due eventi non sono mica esclusivi.
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

Avatar utente
Eddd
Messaggi: 644
Iscritto il: 11 agosto 2007, 16:26

Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 26 gennaio 2012, 1:57

Sergio67 ha scritto:Ma io non ho nessuna difficoltà ad accettare entrambe le affermazioni.

O l'affermazione (la moneta 1 è testa) è un evento certo oppure (la moneta 2 è testa) è un evento certo.

primo caso
Supponiamo che la moneta 1 è testa è un evento certo, che casi possibili ci sono se questa assunzione è vera?
TT
TC
Quale è la probabilità che sia vera TT? 1/2

secondo caso
Supponiamo che la moneta 2 è testa è un evento certo, che casi possibili ci sono se questa assunzione è vera?
TT
CT
Quale è la probabilità che sia vera TT? 1/2

Se è vera la prima affermazione ci troviamo in uno spazio di eventi fatto come il primo, se è vera la seconda in uno spazio di eventi fatto come il secondo, ma in entrambi gli spazi le possibilità che si verifichi TT sono sempre 1/2.

Cosa c'è di sbagliato Sergio?

Questo invece è il tuo modo di vedere le cose descritte dal problema...

(la moneta 1 oppure la moneta 2 è testa) è un evento certo
se la moneta 1 oppure la moneta 2 è testa è certo l'unica cosa che resta esclusa è CC quindi lo spazio degli eventi è questo e basta
TT
CT
TC
quale è la probabilità che sia vero TT? 1/3
La probabilità non la puoi mica calcolare dicendo (Caso 1=50% + Caso 2=50%)/2. I due eventi non sono mica esclusivi.
Ma questa cosa qua cosa c'entra? Io non ho mica capito, spiegami l'errore dove sta nel ragionamento di sopra quando si assume come vero quello che ho assunto io. Le due affermazioni (la tua e quella di sopra) non sono equivalenti questo lo si capisce, ma il ragionamento di sopra non è sbagliato. Tira fuori un'incongruenza se è scorretto, io non la vedo.

non è vero che "(la moneta 1 oppure la moneta 2 è testa) è un evento certo" implica "l'affermazione (la moneta 1 è testa) è un evento certo oppure (la moneta 2 è testa) è un evento certo", questo è sbagliato, ma per il ragionamento di sopra non s'assume mica 'sta cosa.

Non si assume che se si è verificata certamente una disgiunzione s'è verificato certamente uno dei due disgiunti, questo è scorretto, mentre è corretto affermare che se è vera una disgiunzione è vero uno dei due disgiunti.
Sergio67 ha scritto:Se una delle due è testa posso certamente affermare che:
O l'affermazione (la moneta 1 è testa) è un evento certo oppure (la moneta 2 è testa) è un evento certo.

ma posso anche affermare
L'affermazione (la moneta 1 oppure la moneta 2 è testa) è un evento certo.
Guarda questo mostra chiaramente che c'è un fraintendimento e interpretazioni della situazione che si sovrappongono, queste due affermazioni in neretto non sono equivalenti :shock:, per questo una porta a certe conclusioni e l'altra a certe altre. Il contenuto informativo della prima è maggiore della seconda. La verità della seconda non implica la verità della prima.

Saluti
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 26 gennaio 2012, 8:34

Eddd ha scritto: O l'affermazione (la moneta 1 è testa) è un evento certo oppure (la moneta 2 è testa) è un evento certo.

primo caso
Supponiamo che la moneta 1 è testa è un evento certo, che casi possibili ci sono se questa assunzione è vera?
TT
TC
Quale è la probabilità che sia vera TT? 1/2

secondo caso
Supponiamo che la moneta 2 è testa è un evento certo, che casi possibili ci sono se questa assunzione è vera?
TT
CT
Quale è la probabilità che sia vera TT? 1/2

Se è vera la prima affermazione ci troviamo in uno spazio di eventi fatto come il primo, se è vera la seconda in uno spazio di eventi fatto come il secondo, ma in entrambi gli spazi le possibilità che si verifichi TT sono sempre 1/2.

Cosa c'è di sbagliato Sergio?
Cosa c'è di sbagliato?!? Forse dovresti studiare un po' di più il calcolo delle probabilità.
Quelle che tu hai descritto sono le singole probabilità dell'evento TT condizionate al verificarsi dei due eventi diversi. NON è la probabilità dell'evento TT descritta dall'intera affermazione.

In termini più formali tu hai (o è certamente vero P o è certamente vero Q).
Quelle che stai calcolando sono due probabilità che esprimono i casi
1) è vero P
2) è vero Q
ma NON esprimono la probabilità quando (o è certamente vero P o è certamente vero Q). Che è una probabilità certamente connessa alle prime due ma che non puoi assumere come uguale a nessuna delle due.

Il fatto che le due probabilità siano uguali è fuorviante. Per farti capire che il calcolo delle probabilità non funziona così facciamo una situazione completamente diversa, dimentichiamo che c'èe almeno una testa e affermiamo:
o è certamente vero che 1 è testa o è certamente vero che 2 è croce.

Allora
caso 1
TT
TC

probabilità di due teste 50%

caso 2
CC
TC

adesso di due teste 0%

adesso dimmi, qual'è la probabilità di due teste? 0%? 50%? 25%? 33%?

non so se sono riuscito a farti capire cosa intendo calcolare in modo serio e rigoroso la probabilità nel caso da te esposto, perché il calcolo che hai fatto tu è sbagliato e se lo capisci la cosa mi riempie di gioia, se non lo capisci...

mi offri una birra.
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

Avatar utente
Eddd
Messaggi: 644
Iscritto il: 11 agosto 2007, 16:26

Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 26 gennaio 2012, 9:37

Sergio67 ha scritto:
Eddd ha scritto: O l'affermazione (la moneta 1 è testa) è un evento certo oppure (la moneta 2 è testa) è un evento certo.

primo caso
Supponiamo che la moneta 1 è testa è un evento certo, che casi possibili ci sono se questa assunzione è vera?
TT
TC
Quale è la probabilità che sia vera TT? 1/2

secondo caso
Supponiamo che la moneta 2 è testa è un evento certo, che casi possibili ci sono se questa assunzione è vera?
TT
CT
Quale è la probabilità che sia vera TT? 1/2

Se è vera la prima affermazione ci troviamo in uno spazio di eventi fatto come il primo, se è vera la seconda in uno spazio di eventi fatto come il secondo, ma in entrambi gli spazi le possibilità che si verifichi TT sono sempre 1/2.

Cosa c'è di sbagliato Sergio?
Cosa c'è di sbagliato?!? Forse dovresti studiare un po' di più il calcolo delle probabilità.
Quelle che tu hai descritto sono le singole probabilità dell'evento TT condizionate al verificarsi dei due eventi diversi. NON è la probabilità dell'evento TT descritta dall'intera affermazione.

In termini più formali tu hai (o è certamente vero P o è certamente vero Q).
Quelle che stai calcolando sono due probabilità che esprimono i casi
1) è vero P
2) è vero Q
non esprime solo che P è vero o Q è vero adesso, esprime il fatto che o P è sempre vero in ogni situazione possibile, o Q è sempre vero in ogni situazione possibile. Dire che "P è sempre vero in ogni situazione o Q è sempre vero in ogni situazione", non è equivalente a dire "P o Q è sempre vero in ogni situazione possibile".
ma NON esprimono la probabilità quando (o è certamente vero P o è certamente vero Q). Che è una probabilità certamente connessa alle prime due ma che non puoi assumere come uguale a nessuna delle due.

Il fatto che le due probabilità siano uguali è fuorviante. Per farti capire che il calcolo delle probabilità non funziona così facciamo una situazione completamente diversa, dimentichiamo che c'è almeno una testa e affermiamo:
o è certamente vero che 1 è testa o è certamente vero che 2 è croce.

Allora
caso 1
TT
TC

probabilità di due teste 50%

caso 2
CC
TC

adesso di due teste 0%

adesso dimmi, qual'è la probabilità di due teste? 0%? 50%? 25%? 33%?

in un caso 50 % nell'altro 0%
Ma qua non puoi applicare al ragionamento l'eliminazione della disgiunzione. Formalmente il ragionamento di sopra è questo...

assumiamo P o Q
P implica R
Q implica R
dunque
P o Q implica R
R

se metti le cose così

assumiamo P o Q
P implica R
Q implica S
dunque
...

dunque in generale nulla... se vuoi dedurre qualcosa devi trovare un'affermazione che sia implicata da entrambi i disgiunti.
Non puoi arrivare alla conclusione come sopra. In quest'altro caso non si deduce nulla, come è giusto che sia, se sai di trovarti in una "situazione" in cui o è certo un evento o è certo un altro evento, non è detto che in entrambi i casi la probabilità dell'evento che vuoi calcolare sia la stessa. Non puoi arrivare a nessuna conclusione, perché nel caso in cui è certo un evento, la probabilità che sia vero l'altro è una, nel caso è certo l'altro evento la probabilità che sia vero quello che ti interessa è diversa. Arrivi a sapere quello che hai detto tu, in un caso è 50% nell'altro 0%. Su questi casi poi non si può effettuare un calcolo probabilistico, sono casi logici, non casi che fanno parte del possibile probabilistico inteso come spazio degli eventi.

Se mi avessi chiesto "quale è la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno" ponendo come vera la condizione o è certamente vero che 1 è testa o è certamente vero che 2 è croce ad esempio, avrei potuto risponderti che è 1/2... Dove sta l'errore? Spiegamelo chiaramente, tu Sergio dici solo che è scorretto matematicamente, ma la fallacia quale sarebbe? Assumendo come vera questa premessa qua in neretto, a queste conclusioni si può arrivare correttamente.
Tu dici che se possiedi questa informazione qua e ti chiedessi "quale è la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno?" non si può dire nulla? :?

Questo è un ragionamento sugli spazi di eventi, se tu sai che per ogni spazio di eventi di un insiema A (composto da spazi di eventi e non da eventi) è compatibile con certe condizioni che hai assunto vere (perché sai in qualche modo che lo sono) e riesci a dedurre che la probabilità di un evento resta fissa in ognuno, pure senza sapere quale sia lo spazio di eventi giusto e specifico in cui ti trovi davvero, puoi dedurre che la probabilità di un certo evento (riconoscibile in ognuno di questi spazi), quella è.

Se lo Spazio 1 è quello giusto (quello in cui è necessario che la prima moneta sia testa), la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno è 1/2
Se lo Spazio 2 è quello giusto (quello in cui è necessario che la seconda moneta sia croce), la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno è 1/2,

non sai quale sia lo Spazio giusto, ma sai che lo Spazio da prendere in esame è uno di questi qua, puoi dire qualcosa rispetto alla probabilità che si verifichino certi eventi senza avere informazioni su quale sia lo Spazio "corretto" in mezzo ad un insieme di Spazi, e perciò la cosa si divide in casi, casi logici non probabilistici, i casi probabilistici sono gli eventi che fanno parte di ogni Spazio preso in considerazione. Per questo poi non si può fare una stima nel caso in cui vengano fuori probabilità diverse in due Spazi che tu sei sicuro descrivano la situazione senza sapere quale sia quello giusto


Io non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato.

Tu ragioni come se non ci si potesse trovare in situazioni logiche del genere, ma non vedo perché escluderle :shock:. Ancora non mi hai dimostrato l'errore dove sta, io ti ho detto mostrami un'incongruenza nel mio ragionamento, non ripetere sempre la stessa cosa e cioé che "è matematicamente sbagliato è basta", non è un'incongruenza quella che hai mostrato. Hai mostrato un'altra situazione in cui non si può applicare quel ragionamento là, ma questo dal punto di vista logico lo si sapeva già.

Se mi mostri una contraddizione o un'incongruenza te la offro davvero la birra :D, se no niente :mrgreen:, io mi aspetto una pepsi-cola invece, in genere è più economica :wink:.

Ciao
Ultima modifica di Eddd il 26 gennaio 2012, 16:16, modificato 3 volte in totale.
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

Avatar utente
Eddd
Messaggi: 644
Iscritto il: 11 agosto 2007, 16:26

Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 26 gennaio 2012, 14:17

Un ultimo esempio che non sta "fuori" dalla teoria... se con Pr(S) indichiamo la probabilità che sia vero l'evento S. Ti propongo di esaminare questo argomento qua.

Supponiamo che (con P, Q, R eventi qualsiasi) siano vere le premesse

A) (Pr(P) = 1 o Pr(Q) = 1),
B) Pr((P o Q) -> R) = 1

[il segno "->" rappresenta il connettivo di implicazione materiale la "o" quella disgiuntiva]

E' possibile dedurre o no dalla verità di queste premesse (secondo la teoria matematica che hai in mente tu) che

Pr(R) = 1

??? :?

Se non si può ragionare per casi come prima, nel mio esempio, non possiamo arrivare a dire che R sarà vero sicuramente, pur avendo queste informazioni rispetto alla verità di A e B.
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 26 gennaio 2012, 23:52

non esprime solo che P è vero o Q è vero adesso, esprime il fatto che o P è sempre vero in ogni situazione possibile, o Q è sempre vero in ogni situazione possibile. Dire che "P è sempre vero in ogni situazione o Q è sempre vero in ogni situazione", non è equivalente a dire "P o Q è sempre vero in ogni situazione possibile".
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAARGH!!!!!!!!!
Per favore lasciamo le bestemmie al di fuori di questa discussione.
assumiamo P o Q
P implica R
Q implica R
dunque
P o Q implica R
R
Certo, peccato che la catena corretta di implicazioni è:

assumiamo P o Q
P implica R1
Q implica R2
dunque
P o Q???

che cosa implica P o Q? forse implica R1 o R2 ma questo non è di molto aiuto, non trovi?

Cerca di capire in che modo R1 e R2 sono due proposizioni diverse.
La forma estesa di R1 è: la probabilità di due teste condizionata a P è 50%
La forma estesa di R2 è: la probabilità di due teste condizionata a Q è 50%

Inoltre (R1 o R2) NON è: la probabilità di due teste condizionata a P o Q è 50%.
E se non riesci a capirlo, per favore riprova ancora e rispondi solo dopo che lo hai capito. Sono piuttosto stufo di rispondere a questo uso assurdo della matematica.
Se poi tu vuoi modificare le singole affermazioni rimuovendo le parti diverse, che non ti piacciono, in modo che diventino uguali, che vuoi che ti dica? Con il taglia e incolla possiamo fare molte cose, ma sono cose che non hanno niente a che vedere con la matematica.
se metti le cose così

assumiamo P o Q
P implica R
Q implica S
dunque
...

dunque in generale nulla... se vuoi dedurre qualcosa devi trovare un'affermazione che sia implicata da entrambi i disgiunti.
Non puoi arrivare alla conclusione come sopra. In quest'altro caso non si deduce nulla, come è giusto che sia, se sai di trovarti in una "situazione" in cui o è certo un evento o è certo un altro evento, non è detto che in entrambi i casi la probabilità dell'evento che vuoi calcolare sia la stessa. Non puoi arrivare a nessuna conclusione, perché nel caso in cui è certo un evento, la probabilità che sia vero l'altro è una, nel caso è certo l'altro evento la probabilità che sia vero quello che ti interessa è diversa. Arrivi a sapere quello che hai detto tu, in un caso è 50% nell'altro 0%. Su questi casi poi non si può effettuare un calcolo probabilistico, sono casi logici, non casi che fanno parte del possibile probabilistico inteso come spazio degli eventi.
Quindi secondo te in questo caso NON è possibile calcolare la probabilità. Forse dovresti provare a pubblicare la tua conclusione su una rivista di matematica perché sarebbe davvero una conclusione rivoluzionaria, magari ti danno pure la laurea honoris causa.
Per inciso, anche ne tuo caso, come ti ho già detto, le affermazioni R1 e R2 differiscono e quindi non dovresti essere in grado di calcolare la probabilità. Il fatto che tu non ti sia accorto della differenza semplicemente non depone a tuo favore, ma non le rende certo uguali.
Se mi avessi chiesto "quale è la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno" ponendo come vera la condizione o è certamente vero che 1 è testa o è certamente vero che 2 è croce ad esempio, avrei potuto risponderti che è 1/2... Dove sta l'errore? Spiegamelo chiaramente, tu Sergio dici solo che è scorretto matematicamente, ma la fallacia quale sarebbe? Assumendo come vera questa premessa qua in neretto, a queste conclusioni si può arrivare correttamente.
Tu dici che se possiedi questa informazione qua e ti chiedessi "quale è la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno?" non si può dire nulla?
Io la fallacia te l'ho detta in mille salse. Se non riesci a capirla non è colpa mia.
Questo è un ragionamento sugli spazi di eventi, se tu sai che per ogni spazio di eventi di un insiema A (composto da spazi di eventi e non da eventi) è compatibile con certe condizioni che hai assunto vere (perché sai in qualche modo che lo sono) e riesci a dedurre che la probabilità di un evento resta fissa in ognuno, pure senza sapere quale sia lo spazio di eventi giusto e specifico in cui ti trovi davvero, puoi dedurre che la probabilità di un certo evento (riconoscibile in ognuno di questi spazi), quella è.

Se lo Spazio 1 è quello giusto (quello in cui è necessario che la prima moneta sia testa), la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno è 1/2
Se lo Spazio 2 è quello giusto (quello in cui è necessario che la seconda moneta sia croce), la probabilità che le due monete abbiano lo stesso segno è 1/2,

non sai quale sia lo Spazio giusto, ma sai che lo Spazio da prendere in esame è uno di questi qua, puoi dire qualcosa rispetto alla probabilità che si verifichino certi eventi senza avere informazioni su quale sia lo Spazio "corretto" in mezzo ad un insieme di Spazi, e perciò la cosa si divide in casi, casi logici non probabilistici, i casi probabilistici sono gli eventi che fanno parte di ogni Spazio preso in considerazione. Per questo poi non si può fare una stima nel caso in cui vengano fuori probabilità diverse in due Spazi che tu sei sicuro descrivano la situazione senza sapere quale sia quello giusto
Anche se ti ho già mostrato che le due affermazioni sono in realtà diverse, provo a rispegarla per l'ennesima volta in un altro modo, magari finalmente ti si accende la lampadina.

La probabilità è definita come il numero di eventi favorevoli diviso il numero totale di eventi all'interno di un insieme definito "Spazio degli eventi".
La probabilità di un evento all'interno di un sottospazio di eventi (nel caso i due sottoinsiemi Spazio 1 e Spazio 2) si chiama probabilità CONDIZIONATA all'avverarsi della condizione che ti porta in quello specifico sottospazio. La probabilità condizionata è necessariamente maggiore o uguale alla probabilità originaria perché la CONDIZIONE può solo escludere casi non favorevoli. Anche se due sottoinsiemi ricoprono completamente l'insieme primario (ovvero la loro unione riforma l'insieme completo) non puoi assumere la probabilità condizionata di uno dei due sottoinsiemi come probabilità complessiva dell'evento favorevole. Nemmeno se nei due casi le probabilità condizionate sono uguali.
Prova a guardarlo dal punto di vista degli insiemi. Disegna una palla e dentro mettici CT, TC, TT. Questo è lo spazio degli eventi. Adesso fai un cerchio intorno a TC e TT, questo è lo Spazio 1, e poi fai un cerchio intorno a CT e TT, questo è lo spazio 2. Noti qualcosa di strano? Non puoi elevare la singola probabilità dello spazio 1 o dello spazio 2 al rango della probabilità totale, nemmeno se sono uguali. Perché sono probabilità condizionate. Il fatto che siano entrambe del 50% è incidentale: sono comunque probabilità legate a condizioni diverse.
L'errore matematico è quindi partizionare lo spazio degli eventi e ricomporre le partizioni secondo regole che NON rispettano il calcolo delle probabilità. Una delle regole violate è quella che dice che l'evento TT lo puoi contare una volta sola e NON lo puoi contare SIA nello spazio 1 CHE nello spazio 2. Se poi vuoi rifiutare questa regola e dire che non stai commettendo questo errore, almeno non mi dire che non ti ho detto dove è sbagliato. Studia il calcolo delle probabilità e poi ne riparliamo.
Un altro modo per dirlo è che lo spazio 1 e lo spazio 2 NON costituiscono una partizione dello spazio degli eventi. Se poi non capisci in che modo questo è connesso al calcolo delle probabilità, ancora una volta studia prima di rispondere.

Se ti sono sembrato un po' caustico, è voluto, se invece ti ho offeso, me ne scuso.
Il motivo probabilmente è legato al fatto che una dimostrazione completa e rigorosa richiede tempo (e penso di averne già speso parecchio nel tentativo di farvi capire), un ripasso significativo del formalismo, e strumenti di comunicazione come diagrammi o altro che tramite forum non sono banali.
Dall'altro lato invece ritengo che da parte vostra una comprensione intuitiva sarebbe piuttosto semplice se cercaste di comprendere "cosa sta succedendo", piuttosto che cercare di giustificare con delle assurdità una risposta sbagliata.
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

Avatar utente
Sergio67
Messaggi: 813
Iscritto il: 26 febbraio 2009, 15:23

Re: Probabilità

Messaggio da Sergio67 » 27 gennaio 2012, 0:09

Eddd ha scritto:Un ultimo esempio che non sta "fuori" dalla teoria... se con Pr(S) indichiamo la probabilità che sia vero l'evento S. Ti propongo di esaminare questo argomento qua.

Supponiamo che (con P, Q, R eventi qualsiasi) siano vere le premesse

A) (Pr(P) = 1 o Pr(Q) = 1),
B) Pr((P o Q) -> R) = 1

[il segno "->" rappresenta il connettivo di implicazione materiale la "o" quella disgiuntiva]

E' possibile dedurre o no dalla verità di queste premesse (secondo la teoria matematica che hai in mente tu) che

Pr(R) = 1

??? :?

Se non si può ragionare per casi come prima, nel mio esempio, non possiamo arrivare a dire che R sarà vero sicuramente, pur avendo queste informazioni rispetto alla verità di A e B.
Premetto che non so quanto senso abbia parlare di operatori logici nel caso di affermazioni "probabili" (cioè, se Pr(P) = 50%, che significa (P o Q)?)
Quindi assumo che P e Q possano solo essere vere o false.

Allora, ragionando,
dall'affermazione B) se Pr((P o Q) -> R) = 1 allora l'evento è certo. quindi è vero che (P o Q) -> R
dall'affermazione A) (P o Q) è vero
quindi R è vero.

Assumo anche che P e Q siano le tue affermazioni "Spazio 1" o "Spazio 2" e R "vorrebbe essere" che "la probabilità è del 50%".
Dico "vorrebbe essere" perché come ti ho già dimostrato, NON PUO'
Puoi sentirti perso, ma non potrai mai perdere te stesso.

Facilitatore gruppo AMA "Sbilànciati!" su AMAEleusi (cercateci)

Guida Autorizzata Pagine Blu (ma non sono psicologo)

Avatar utente
Eddd
Messaggi: 644
Iscritto il: 11 agosto 2007, 16:26

Re: Probabilità

Messaggio da Eddd » 27 gennaio 2012, 2:19

Io te l'ho detto mostrami un'incongruenza, tu dici che non posso dedurre quello che dico di poter dedurre perché le frasi non sono la stessa frase, ma il punto è che comunque posso dire che se lo spazio di eventi è il primo le possibilità di TT sono 1/2, se lo spazio di eventi è il secondo è 1/2, o è il primo o è il secondo sempre 1/2 è, questo lo posso sapere.
Se ti dico lo spazio di eventi attuale o è questo o è quest'altro qualcosa la si può dedurre, e non c'è nulla di sbagliato, tu imposti il problema dicendo lo spazio di eventi possibili è questo qua {TT, CT, TC}, altri impostano il problema dicendo o lo spazio di eventi è questo qua {TT, CT} o lo spazio di eventi è quest'altro {TT, TC} ed effettuano un ragionamento per casi.
Se c'è davvero un errore o una fallacia deve venire fuori un'incongruenza, perché si vieta questa cosa? A che errore porta in concreto? Prendere lo spazio di eventi {TT, CT, TC} non è equivalente ovviamente a dire "lo spazio di eventi è questo qua {TT, CT} oppure lo spazio di eventi è quest'altro {TT, TC}", non sto dicendo questo, spero che questa cosa si sia capita.
Tu dici solo che errato teoricamente e matematicamente, ripeti sempre la stessa cosa, dici di studiare ecc. ecc. ma continui a non mostrarmi nulla, una contraddizione, un'incongruenza.
Per me non basta, se riuscirai a mostrarmi che quel ragionamento porta a qualcosa di paradossale accetterò quel che dici e affermi come una dimostrazione, se continui a dire soltanto che questa cosa rappresenta una scorrettezza rispetto a certe "regole legali" che hai in mente tu, io non l'accetterò di certo soltanto per questo.

Le due impostazioni non sono equivalenti, secondo la prima sono possibili sia CT che TC, nella seconda non lo si può affermare questo, perché CT è possibile solo in uno dei due casi e pure TC è possibile sono in uno dei due, e si ignora quale sia quello giusto.

Saluti
La nostra vita contiene tutti i mali della tragedia, mentre noi non riusciamo neppure a conservare la gravità di personaggi tragici, e siamo invece inevitabilmente, nei molti casi particolari della vita, goffi tipi da commedia.

Rispondi

Torna a “Giochi di logica, quiz, enigmi”